16

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математики

ЕН.Ф 01 МАТЕМАТИКА

Методические указания

к выполнению контрольной работы № 3

направления 110300 Агроинженерия

120300 Землеустройство и кадастры

190600 Эксплуатация наземного транспорта и

транспортного оборудования

250200 Лесное хозяйство и ландшафтное строительство

280400 Природообустройство

Уфа 2006

00УДК 51(07)

ББК 22.1я73,22.161.6

М 54

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № 7 от 03.11.2006 года)

Составители: доцент Пономарева Л.А.,

ст. преподаватель Гильманова Г.Х.,

ст. преподаватель Карамов В.И.

Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики доцент Лукманов Р.Л.

Оглавление

Введение 4

1 Дифференциальные уравнения. 5

1.1 Дифференциальные уравнения первого порядка 5

1.2 Дифференциальные уравнения второго порядка 7

2. Ряды. 10 2.1 Знакоположительные ряды 11

2.2 Знакопеременные ряды 13

2.3 Функциональные ряды 13

3 Варианты индивидуальных заданий 16

4 Функции нескольких переменных 20

4.1 Экстремум функции нескольких переменных 21

4.2 Градиент. Производная по направлению 23

5 Двойные интегралы 24

5.1 Основные понятия и определения 24

5.2 Основные свойства двойного интеграла 24

6 Элементы теории вероятностей 26

6.1 Случайные величины 29

6.1.1 Дискретные случайные величины 30

6.1.2 Числовые характеристики дискретной

случайной величины 30

6.1.3 Непрерывные случайные величины 32

7 Варианты заданий 37

Библиографический список 46

Введение

Целью настоящих методических указаний является помощь студентам – заочникам в выполнении контрольной работы №3.

Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы и воспользоваться решениями типовых примеров, содержащихся в настоящих методических указаниях.

Номер варианта по каждому заданию студент выбирает по формуле ,

где - номер варианта,

- номер задания,

- предпоследняя цифра шифра студента,

- последняя цифра шифра.

Пример.

Пусть шифр студента 1235, тогда:

номер варианта первого задания: =;

номер варианта второго задания: ;

номер варианта третьего задания: ;

номер варианта четвертого задания: .

Таким образом, студент, имеющий шифр 1235 должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом.

Если итоговая число по формуле получится больше 20, то для определения варианта от полученного числа отнимают 20.

Пример.

Пусть шифр студента 1298.

Номер варианта второго задания: . Промежуток 26-20=6. Таким образом, во втором задании студент решает задачу варианта №6.

Основная цель инженера – исследователя, изучающего какой- либо физический или технический процесс, заключается в выявлении его закономерностей, в получении аналитического выражения функциональной зависимости между переменными параметрами этого процесса.

Большинство подобных задач сводится к решению уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.

1 Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы

Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.

Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, а если она зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит ее частные производные по этим аргументам, то оно называется уравнением с частными производными.

Будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении.

Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, т.е. обращающая его в тождество, называется интегралом (решением) данного уравнения.

Интеграл дифференциального уравнения, называется общим, если он содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. А функции, получаемые из общего интеграла при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными интегралами этого уравнения.

Отыскание частного интеграла дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение с разделенными переменными.

Общий вид:

Его общий интеграл:

Уравнение с разделяющимися переменными.

Его общий вид: или.

Разделяя переменные: , получаем дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Это уравнение вида: если функция удовлетворяет условию,k=const

Уравнение первого порядка называется однородным, если можно представить как функцию только одного отношения переменных,т.е. уравнения вида .

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой у=ux (или x=uy), где u=u(x) ( u=u(y) )- новая функция.

Пример 1.

Найти общий интеграл данного уравнения:

Решение:

Это однородное уравнение, т.к.

Далее вводим новую функцию , полагая при этоми после подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменнымиили

Разделим переменные: и, интегрируя, найдемили. Исключая вспомогательную функцию, окончательно получим

Линейные уравнения первого порядка

Это уравнения вида:, где и -известные функции от х.

Посредством замены функциипроизведением двух вспомогательных функцийлинейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций.

Пример 2

Решить уравнение

Решение:

Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем тогдаи данное уравнение преобразуется к виду:

Так как одну из вспомогательных функций илиможно взять произвольно, то выберем в качествекакой – либо частный интеграл уравнения(1)

Тогда для отыскания получим уравнение:(2)

Решая первое уравнение, найдем . Разделяя переменные и интегрируя, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл:

Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем как общий интеграл этого уравнения:

Зная и, находим искомую функцию.

Уравнение Бернулли

Его общий вид: . Данное уравнение отличается от линейного тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции. Решается оно так же, как и линейное. Посредством подстановкисводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.