Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Башкирский государственный аграрный университет»
Кафедра математики
Матрицы и их приложение к исследованию и решению системы линейных алгебраических уравнений Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
Методические указания
к выполнению расчетно- графической работы №1
по дисциплине «Математика»
Направление 110800 Агроинженерия
Уфа – 2008
УДК 378.147:51
ББК 74.58:22.1
М34
Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол №14 от 6 декабря 2002 года) и заседанием кафедры математики (протокол №5 от 28 декабря 2002 года)
Составители:
доцент Пономарева Л.А.
ст. преподаватель Карамов В.И.
Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.
Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики
доцент Лукманов Р.Л.
Предварительно приведем вопросы по разделу, на которые следует ответить перед решением задач и на зачете.
1. Основные понятия, связанные с матрицами (матрица-строка, матрица-столбец, определитель квадратной матрицы и т.п.)
2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Свойства этих действий.
3. Умножение матриц и его свойства.
4. Обратная матрица, ее строение.
5. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений, решение ее с помощью обратной матрицы.
6. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы.
7. Исследование системы уравнений первой степени общего вида; основная и расширенная матрицы; ранг матрицы; теорема Кронекера-Капелли.
Далее рассмотрим образец решения некоторых типовых задач.
Задача 1. Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решение.
Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
Так как
,
то система совместна и неопределена.
Количество главных
переменных равно
,
количество свободных переменных равно
.
Выберем какой-нибудь
отличный от нуля минор второго порядка
полученной матрицы
,
например, минор
.
Его столбцы – первый и второй столбцы
матрицы
- соответствуют переменным
и
- это будут главные
переменные, а
и
- свободные переменные.
Заметим, что в
качестве главных переменных в данном
примере нельзя выбрать пару
и
,
т.к. любой соответствующий им минор
равен нулю:
,
,
.
Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:
Перепишем ее в виде:
или
Обозначим свободные
переменные:
через
,
через
.
Запишем общее решение системы:
;
частное решение
.
Задача 2. Исследовать систему линейных уравнений:
Решение. Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:
Так
как
,
то система несовместна (не имеет решений).
В самом деле, последней строке полученной
расширенной матрицы соответствует
уравнение
,
не имеющее решений.
Ответ: система несовместна.
Задача 3. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:
Решение. Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:
Так как
,
то система неопределенна. В качестве
главных переменных можно выбрать
и
,
соответствующие столбцам ненулевого
минора второго порядка:
;
в качестве свободных переменных -
и
.
Запишем систему, соответствующую полученной матрице:
Из второго уравнения
получим
.
Подставляя это
выражение в первое уравнение, получим
.
Обозначая свободные
переменные:
через
,
через
,
запишем общее решение системы:
.
Фундаментальную
систему решений образует, например,
пара решений
и
.
Ответ: общее решение
системы
;
фундаментальная
система решений
.