- •Матрицы и их приложение к исследованию и решению системы линейных алгебраических уравнений Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- •2 Аналитическая геометрия на плоскости
- •Пример 2.
- •Пример 3.
- •3 Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
- •Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор , т.Е.:
- •Усл. Печ. Л____ Тираж_____экз. Заказ №______
3 Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
Вектор – отрезок, имеющий определенную длину и направление. Любой вектор можно разложить по ортам координатных осей:
, где
х, у, z – проекции вектора на оси координат, - орты (единичные векторы координатных осей).
Модуль (длина) вектора определяется по формуле:
(3.1.1)
Если известны координаты начала и конца В()вектора, то вектор можно записать следующим образом:
(3.1.2)
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними:
.
Отсюда нетрудно определить угол между векторами
. (3.1.3)
Если векторы и заданы своими проекциями = и =, то скалярное произведение находится по формуле:
. (3.1.4)
Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.:
. (3.1.5)
Векторным произведением двух векторов называется вектор , определяемый условиями:
-
вектор перпендикулярен векторам и , т.е. , ;
-
векторы , и образуют правую тройку;
-
длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.
.
Для векторов, заданных проекциями = и =, векторное произведение имеет вид:
. (3.1.6)
Отсюда, условие коллинеарности векторов:
. (3.1.7)
Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор , т.Е.:
().
Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.
Если векторы заданы проекциями =, = и =, то смешанное произведение имеет вид:
. (3.1.8)
Условие компланарности (принадлежности трех векторов одной плоскости или параллельности плоскостям), имеет вид:
. (3.1.9)
Знание векторной алгебры во многом упрощает решение задач по аналитической геометрии в пространстве.
Так, уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М(), перпендикулярно вектору имеет вид:
. (3.1.10)
Уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(), В(), и С(), имеет вид:
(3.1.11)
Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид:
, (3.1.12)
где ()-точка, через которую проходит прямая; -проекции направляющего вектора прямой.
Уравнения прямой, проходящей через две точки, определяются так:
. (3.1.13)
Если прямая вида (3.1.12) перпендикулярна плоскости, заданной общим уравнением: , то выполняется условие:
. (3.1.14)
Рассмотрим несколько примеров применения изложенных выше теоретических положений.
Пример 6.
Записать вектор в системе орт и найти его модуль, если А(1, 2, 3);
В(0, 1, 5).
Решение.
Используя формулу (3.1.2) получим:
=(0-1)=.
Используя формулу (3.1.1), найдем модуль этого вектора:
(ед.дл.)
Пример 7.
Найти угол между векторами и .
Решение.
Используя формулу (3.1.3), получим:
,
что соответствует углу .
Пример 8.
Найти площадь треугольника, образованного двумя векторами и
, выходящими из одной точки.
Решение.
Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах как на сторонах, т.е. равна модуля векторного произведения векторов и :
.
Векторное произведение найдем по формуле (3.1.6):
Найдем модуль полученного вектора, используя формулу (3.1.1):
Тогда искомая площадь будет:
(кв.ед.)
Пример 9.
Найти объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах:
.
Решение:
Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах как на ребрах, равен
, где ,
где -смешанное произведение векторов.
Величину найдем по формуле (3.1.8):
=
Тогда (куб.ед.).
Пример 10.
Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки А(1,2,5) и В(0,1,2).
Решение:
Подставив координаты точек А и В в уравнение (3.1.13), получим:
; ; .
Пример 11.
Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(1, 2, 3);
В(1, 1, 0) и С(2, 3, 1).
Решение:
Используя уравнение (3.1.11), получим:
(х-1),
Пример 12.
Через точку А(1, 0, 2) провести прямую, перпендикулярную плоскости
Решение.
Используем канонические уравнения прямой (3.1.12), подставив координаты точки А, получим:
.
Проекции направляющего вектора прямой найдем из условия перпендикулярности прямой и плоскости (3.1.14).
В нашем случае это будет:, тогда будем иметь:.
Задание 1. Найдите матрицу , если:
1) ; 2) ;
3); 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ;
10) ;
11);
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) ;
27) ;
28) ;
29) ;
30) .
Задание 2. Решите матричные уравнения и проверьте подстановкой:
1 a) ; б) ;
2 а) ; б) ;
3 а) ; б) ;
4 a) ; б) ;
5 а) ; б) ;
6 а) ; б) ;
7 a) ; б) ;
8 а) ; б) ;
9 а) ; б) ;
10 а) ; б) ;
11 а) ; б) ;
12 а) ; б) ;
13 а) ; б) ;
14 а) ; б) ;
15 а) ; б) ;
16 а) ; б) ;
17 а) ; б) ;
18 а) ; б ) ;
19 а) ; б) ;
20 а) ; б ) ;
21 а) ; б) ;
22 а) ; б) ;
23 а) ; б) ;
24 а) ; б) ;
25 а) ; б) ;
26 а) ; б) ;
27 а) ; б) ;
28 а) ; б) ;
29 а) ; б) ;
30 а) ; б) .
Задание 3. Решите систему уравнений с помощью обратной матрицы:
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15 16
17 18
19 20
21 22
23 24
25 26
27 28
29 30
Задание 4. Исследуйте следующие системы уравнений и найдите их решения:
1 а) б) ъ
2 а) б)
3 а) б)
4 а) б)
5 а) б)
6 а) б)
7 а) б)
8 а) б)
9 а) б)
10 а) б)
11 а) б)
12 а) б)
13 а) б)
14 а) б)
15 а) б)
16 а) б)
17 а) б)
18 а) б)
19 а) б)
20 а) б)
21 а) б)
22 а) б)
23 а) б)
24 а) б)
25 а) б)
26 а) б)
27 а) б)
28 а) б)
29 а) б)
30 а) б)
Задача 5
Даны координаты вершин треугольника .
Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнение стороны и ее угловой коэффициент;
3) уравнение и длину высоты ;
4) уравнение медианы ;
5) уравнение биссектрисы ;
6) координаты точки , симметричной точке относительно прямой .
-
А(-5;0), В(7;9), С(5;-5). 11. А(-5;2), В(7;-7), С(5;7).
-
А(-7;2),В(5;11),С(3;-3). 12. А(-7;5), В(5;-4), С(3;10).
-
А(-5;-3), В(7;6), С(5;-8). 13. А(-7;1), В(5;-8), С(3;10).
-
А(-6;-2), В(6;7), С(4;-7). 14. А(0;3), В(12;-6), С(10;8).
-
А(-8;-4), В(4;5), С(2;-9). 15. А(-8;4), В(4;-5), С(2;9).
-
А(0;-1), В(12;8), С(10;-6). 16. А(-2;2), В(10;-7), С(8;7).
-
А(-6;1), В(6;10), С(4;-4). 17. А(1;2), В(13;-7), С(11;7).
-
А(-2;-4), В(10;5), С(8;-9). 18. А(-4;1), В(8;-8), С(6;6).
-
А(-3;0), В(9;9), С(7;-5). 19. А(-7;-1), В(5;-10), С(3;4).
-
А(-9;-2), В(3;7), С(1;-7). 20. А(-3;3), В(9;-6), С(7;8).
Задача 6
Даны координаты вершин пирамиды .
Найти:
-
векторы в системе орт и их модули;
-
угол между векторами ;
-
площадь грани ;
-
объем пирамиды ;
-
уравнение ребра ;
-
уравнение плоскости ;
-
уравнение высоты, опущенной из точки на плоскость ;
-
Координаты точки , симметричной точке , относительно прямой ;
-
Координаты проекции точки на плоскость ;
-
Уравнение плоскости, проходящей через сторону параллельно стороне ;
-
Расстояние от точки до прямой ;
-
Расстояние между прямыми и .
-
А(1;2;1), В(-1;5;1), С(-1;2;7), D(1;5;9).
-
А(2;3;2), В(0;6;2), С(0;3;8), D(2;6;10).
-
А(0;3;2), В(-2;6;2), С(-2;3;8), D(0;6;10).
-
А(2;1;2), В(0;4;2), С(0;1;8), D(2;4;10).
-
А(2;3;0), В(0;6;0), С(0;3;6), D(2;6;8).
-
А(2;2;1), В(0;5;1), С(0;2;7), D(2;5;9).
-
А(1;3;1), В(-1;6;1), С(-1;3;7), D(1;6;9).
-
А(1;2;2), В(-1;5;2), С(-1;2;8), D(1;5;10).
-
А(2;3;1), В(0;6;1), С(0;3;7), D(2;6;9).
-
А(2;2;2), В(0;5;2), С(0;2;8), D(2;5;10).
-
А(1;3;2), В(-1;6;2), С(-1;3;8), D(1;6;10).
-
А(0;1;2), В(-2;4;2), С(-2;1;8), D(0;4;10).
-
А(0;3;0), В(-2;6;0), С(-2;3;6), D(0;6;8).
-
А(2;1;0), В(0;4;0), С(0;1;6), D(2;4;8).
-
А(0;2;1), В(-2;5;1), С(-2;2;7), D(0;5;9).
-
А(1;1;1), В(-1;4;1), С(-1;1;7), D(1;4;9).
-
А(1;2;0), В(-1;5;0), С(-1;2;6), D(1;5;8).
-
А(0;1;0), В(-2;4;0), С(-2;1;6), D(0;4;8).
-
А(0;1;1), В(-2;4;1), С(-2;1;7), D(0;5;9).
-
А(0;2;0), В(-2;5;0), С(-2;2;6), D(0;5;8).
Литература:
1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. –М.: Рольф, 2002.-288с., с ил.
2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. –М.: Рольф, 2001.-576с., с ил.
Лицензия РБ на издательскую деятельность №0261 от 10 апреля 1998 года.
Подписано в печать _____2008г. Формат 60х84.
Бумага типографская. Гарнитура Таймс.