- •Билет 1
- •Билет 2
- •Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел.
- •Билет 3
- •Билет 4
- •Билет 6
- •Билет 7
- •Билет 8
- •Билет 9
- •Билет 10
- •Билет 11 Верхний и нижний пределы последовательности.
- •Билет 12
- •Критерий Коши.
- •Билет 13
- •Билет 14 и 15
- •Свойства функций, имеющих пределы в данной точке.
- •Билет 16
- •Билет 17
- •Билет 18
- •Билет 19 Критерий Коши
- •Билет 20
- •Билет 21 и 22
- •Теорема
- •Классификация точек разрыва.
- •Билет 23
- •Билет 24
- •Билет 25
- •Билет 26
- •Билет 27
- •Теорема
- •Билет 28
- •Определение
- •Производная.
- •Билет 29
- •Определение
- •Теорема
- •Билет 30
- •Билет 31 Теорема
- •Билет 32
- •Билет 33 Инвариантность формы первого дифференциала.
Билет 4
Если каждому натуре числу n (n=1,2,3..) поставлено в соотв-е нек число Xn, то говорят что опред-на и задана последовательность x1, x2 …, пишут {Xn}, (Xn).Пример: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,…После-ть назыв огранич. сверху (снизу) если мн-во точек x=x1,x2,…xn лежащ на числовой оси огранич сверху (снизу), т.е. С:XnC Предел посл-ти: число а назыв пределом посл-ти, если для люб-го ε>0 : N (N=N/(ε)). n>N выполн-ся неравенство |Xn-a|<ε. Т.е. – ε<Xn-a<ε => а–ε<Xn<а+ε: _.а–ε_.а_.а+ε_. Число А называется пределом числовой последовательности {an}, если
при n > N.
Единственность предела ограниченной и сходящейся последовательности
Свойство1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство: от противного пусть а и b пределы сходящейся последовательности {xn}, причем a не равно b. рассмотрим бесконечно малые последовательности {αn}={xn-a}и {βn}={xn-b}. Т.к. все элементы б.м. последовательности {αn-βn} имеют одно и тоже значение b-a, то по свойству б.м. последовательности b-a=0 т.е. b=a и мы пришли к противоречию.
Свойство2: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть а – предел сходящейся последовательности {xn}, тогда αn=xn-a есть элемент б.м. последовательности. Возьмем какое-либо ε>0 и по нему найдем Nε : / xn-a/< ε при n> Nε. Обозначим через b наибольшее из чисел ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х Nε-1/,х Nε. Очевидно, что / хn/<b при любом n=1,2,…отсюда и следует ограниченность последовательности {xn}.
Замечание: ограниченная последовательность может и не быть сходящаяся.
Билет 6
Последовательность аn называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0.
an – бесконечно малая lim(n+)an=0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется an<ε
Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.
nnбесконечно малое n+n – бесконечно малое.
Доказательство.
Дано:
n- бесконечно малое ε>0 N1:n>N1 n<ε
n- бесконечно малое ε>0 N2:n>N2 n<ε
Положим N=max{N1,N2}, тогда для любого n>N одновременно выполняется оба неравенства:
n<ε n+nn+n<ε+ε=2ε=ε1n>N
n<ε
Зададим ε1>0, положим ε=ε1/2. Тогда для любого ε1>0 N=maxN1N2 : n>N n+n<ε1 lim(n)(n+n)=0, то
есть n+n – бесконечно малое.
Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.
n,n – бесконечно малое nn – бесконечно малое.
Докозательство:
Зададим ε1>0, положим ε=ε1, так как n и n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N1: n>N n<ε
N2: n>N2 n<ε
Возьмем N=max {N1;N2}, тогда n>N = n<ε
n<ε
nn=nn<ε2=ε1
ε1>0 N:n>N nn<ε2=ε1
lim nn=0 nn – бесконечно малое, что и требовалось доказать.
n
Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность
аn – ограниченная последовательность
n –бесконечно малая последовательность ann – бесконечно малая последовательность.
Доказательство: Так как аn – ограниченная С>0: nN anC
Зададим ε1>0; положим ε=ε1/C; так как n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N n<ε ann=ann<Cε=Cε1/C=ε1
ε1>0 N: n>N ann=Cε=ε1 lim(n) ann=0 ann – бесконечно малое
Последовательность называется ББП (последовательностью) если Пишут . Очевидно, ББП не ограничена. Обратное же утверждение вообще говоря неверно (пример ). Если для больших n члены , то пишут это значит, что как только .
Аналогично определяется смысл записи
Бесконечно большие последовательност an=2n ;bn=(-1)n2n ;cn=-2n
Определение (бесконечно большие последовательности)
1) lim(n)an=+, если ε>0N:n>N an>ε где ε- сколь угодно малое.
2) lim(n)an=-, если ε>0 N:n>N an<-ε
3) lim(n)an= ε>0 N:n>N an>ε