- •Билет 1
- •Билет 2
- •Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел.
- •Билет 3
- •Билет 4
- •Билет 6
- •Билет 7
- •Билет 8
- •Билет 9
- •Билет 10
- •Билет 11 Верхний и нижний пределы последовательности.
- •Билет 12
- •Критерий Коши.
- •Билет 13
- •Билет 14 и 15
- •Свойства функций, имеющих пределы в данной точке.
- •Билет 16
- •Билет 17
- •Билет 18
- •Билет 19 Критерий Коши
- •Билет 20
- •Билет 21 и 22
- •Теорема
- •Классификация точек разрыва.
- •Билет 23
- •Билет 24
- •Билет 25
- •Билет 26
- •Билет 27
- •Теорема
- •Билет 28
- •Определение
- •Производная.
- •Билет 29
- •Определение
- •Теорема
- •Билет 30
- •Билет 31 Теорема
- •Билет 32
- •Билет 33 Инвариантность формы первого дифференциала.
Билет 26
Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»
Пусть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.
Непрерывность элементарных функций.
-
y = sin x, (- < x < +).
Ранее мы доказали непрерывность функции sin x в точке x = 0.
Докажем непрерывность sin x в произвольной точке а. Для этого нужно доказать, что
sin x = sin a, или что sin x - sin a 0 при x a. Воспользуемся формулой
sin x - sin a = 2sincos.
Если x a, то 0, поэтому sin 0, а так как 2cos- ограниченная функция, то sin x - sin a 0, что и требовалось доказать. Непрерывность sin x в любой точке доказана.
Рассмотрим теперь функцию у = , Х =[- x ]. На этом сегменте функция y = sin x является непрерывной и возрастающей (возрастание следует из формулы
sin- sin= 2sincos).
Следовательно, по теореме об обратной ф-ции, множеством значений данной функции является сегмент
Y = [sin(-), sin()] = [-1, 1], на Y= [-1, 1] существует обратная функция x = arcsin y, возрастающая и непрерывная на [-1, 1].
Билет 27
Равномерная непрерывность функции.
Определение непрерывности, точки разрыва функции.
Определение 1:
Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если f(x) = f(а)
Примеры:
f(x) = sin x непрерывна в точке х =0 , так как sin x = 0, и sin 0 = 0, то есть sin x = sin 0.
Рациональная функция f(x) = непрерывна в любой точке а, в которой (а) 0,
так как было доказано, что = ((а) 0). Замечаение:
Так как х = а, то условие непрерывности функции можно записать в виде
f(x) = f(x). Таким образом, непрерывность f(x) в точке а означает, что символы и f можно менять местами.
Определение 2.
f(x) называетмя непрерывной в точке а, если > 0 > 0: | f(x) - f(а) | < при | х - а | < .
Пусть f(x) непрерывна в точке а и f(а) > 0. Возьмём = f(a). По определнию 2
> 0: | f(x) - f(a) | < f(а) при | х - а | < , то есть - f(a) < f(x) - f(a) < f(a) в - окрестности точки а.
Из последнего неравенства следует, что f(x) > 0 в - окрестности точки а.
Итак, если f(x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а. Это свойство называется устойчивостью знака непрерывной функции.
Пусть f(x) определена на [a, a + ). Функция f(x) называется непрерывной в точке а справа, если f(x) = f(а). (то есть f(а + 0) = f(а)).
Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.
Пример:
f(x) = [x].
целого n: f(n - 0) = n - 1, f(n + 0) = n, f(n) = n, то есть, f(n + 0) = f(n) f(n - 0).
Следовательно , в целочисленных точках эта функция непрерывна только справа. В остальных точках- и справа и слева.
Теорема
Если f(x) непрерывна в точке а справа и слева, то она непрерывна в точке а.
Доказательство:
По условию f(а + 0) = f(а) и f(а - 0) = f(а).
Отсюда по теореме 2.1 следует, что f(x) = f(а), а это и означает, что f(x) непрерывна в точке а. Теорема доказана.
2. Если ф-ция f(x) дифференцируема в точке x0, то f(x)-непрерывна в точке x0.
3. Ф-ция f(x) -непрерывна в точке x0, если lim(f(x))=f(x0), при x→x0
+Арифм действия с ф-циями связаны с пределами ф-ций, равными A и B
(Кантора). Непрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на этом сегменте.