Билет 29

Дифференцируемость функции в точке.

Определение

Функция называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точке имеет вид:

(4)

где: А - постоянное число

- бесконечно малая при .

Теорема

Для того чтобы функция f(x) , была дифференцируема в точке х₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x₀, тогда имеет место равенство (4). Считая , из (4) получим:

переходим к пределу при :

, т.е. в точке х₀ существует конечная производная.

Обратно

Пусть в точке х₀ функция имеет конечную производную . Обозначим её А, она равняется:

, - откуда

, где - БМ при .

Умножая обе части на последнее уравнение, приходим к уравнению (4), т.е. f(x) в точке х₀ дифференцируема. q.e.d.

Таким образом, дифференцируемость функции в точке и существование в этой точке её конечной производной - понятия равносильные (для функции многих переменных это будет не так).

Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Например, y = |x| непрерывна при х = 0, но не дифференцируема в этой точке.

y B

C

A D

Δx x

x0

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график функции y=f(x) и проведем касательную к нему при х=х₀. Тогда при прира-

щении аргумента Δх приращение функции Δу равно длине отрезка BD, а приращение ордина- ты касательной равно длине отрезка CD. Следовательно, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной.

(под графиком- Линеаризация функции.)

Так как истинное значение приращения функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем Δх, при приближенных вычислениях можно заменять Δу на dy, то есть считать, что f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + dy = f(x₀) + f`(x₀)(x -x₀). При этом функция f(x) для значений х, близких к х₀, приближенно заменяется линейной функцией. Эта операция называется линеаризацией функции.

Пример.

Найдем приближенное значение . Пусть Тогда

Билет 30

Производная сложной функции.

Рассмотрим сложную функцию: y = f(t), где t = (x), то есть y = f((x))  F(x).

Теорема Пусть функция t = (x) дифференцируема в точке х₀, а функция y = f(t) дифференцируема в точке t₀, где t₀ = (х₀). Тогда сложная функция F(x) = f((x)) дифференцируема в точке х₀, и имеет место формула F'(х₀) = f'(t₀)'(х₀) = f'((х₀))'(х₀).

Доказательство:

Нужно доказать, что приращение функции y = F(x) = f((x)) в точке х₀ можно представить в виде: y = f'(t₀)'(х₀)x + (x)x, (1), где (x)  0 при x  0. (0) = 0. Зададим в точке х₀ приращение аргумента х, равное x. Тогда функция t = (x) получит приращение t = ( х₀ + х) - (х₀). Так как t = (x) дифференцируема в точке х₀ +, то t можно представить в виде : t = '(х₀)x + (x)x. (2), где (x)  0 при x  0. (0) = 0. Приращению t соответствует приращение y = f(t₀+t) + f'(t₀), функции y = f(t). Так как y = f(t) дифференцируема в точке t₀, то y можно представить в виде: y = f'(t₀) t + (t)t. (2), где (t)  0 при t  0. (0) = 0. (3)

Подставляя (2) в (3), получим: y = f'( t₀ )('(х₀)x + [f'(t₀)(x) + '(х₀) + (x)]x, где [f'(t₀)(x) + '(х₀) + (x)]  (x). Очевидно, что (x)  0 при х  0, х  0. Тем самым доказано равенство (1), и, значит, 4.4 доказана