Билет 1

Рациональные числа – числа, записываемые в виде p/q, где q – натурал. число, а p- целое.

Два числа a=p1/q1 и b=p2/q2 назыв равными если p1q2=p2q1, а<b если p1q2>p2q1 и а>b если p1q2<p2q1. ab= p1p2/q1q2. Ждя любых рац чисел а и b однозачно наход их разность. Для люб рац a и b сущ-ет един c=a/b. Свойства: коммутативность а+б=б+а, ассотиативность (а+б)+с=а+(б+с), (а*б)*с=а*(б*с). Дистрибутивность (а*б)*с=ас+бс. а+0=а, а*1=а.. N- натур числа, Z- целые числа, Q- рац числа. Любое рац число должно быть записано в виде переодич десятич дроби (либо конечно с периодом 0). Правило сравнения действ. Чисел. Опр- два действ положит числа α=а0, а1, а2…, β=b0,b1,b2… говорят что число α<β если a0<b0, либо ai=bi. I=0,k. Говорят что положит число α больше отриц числа β если α=-а0, а1, а2 β=-b0,b1,b2 α>β. Модулем числа α назыв |α|=|+-а0, а1, а2…an|= а0, а1, а2…an. Говорят что отриц число α=-а0, а1, а2 < отриц числа β=-b0,b1,b2 если |α|>|β|. Если β и α действ числа причём α<β то сущ-ет рац число R такое что α<R. Геметр интерпритация действ чисел. Действ ось – числова ось. Начало корд- 0. Вся ось (-∞;+∞), интервал [a;b] – xЄR. Отрезок [a;b] __,M1__,0__,__,M2__,__; M1<0 x=a0,a1, M2>0 x=-a0,a1.

Билет 2

Комплексные числа.Комплексные числа

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида: P_n(x) = 0, где P_n(x) - многочлен n - ой степени. Пару вещественных чисел x и у назовём упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, а какое - вторым. Обозначение упорядоченной пары: (x, y). Комплексным числом назовём произвольную упорядоченную пару вещественных чисел. z = (x, y)-комплексное число.

x-вещественная часть z, y-мнимая часть z. Если x = 0 и y = 0, то z = 0. Рассмотрим z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂).

Определение 1. z₁ = z₂, если x₁ =x₂ и y₁ = y₂.

Понятия > и < для комплексных чисел не вводятся.

Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел.

M(x, y)  z = x + iy.

 OM =  = z =.(рисунок)

 называется модулем комплексного числа z.

 называется аргументом комплексного числа z. Он определён с точностью до  2n.

х = cos , y = sin.

z = x + iy = (cos + isin ) - тригонометрическая форма комплексных чисел.

Утверждение 3.

Если

=(cos+ i sin),

=(cos+ i sin), то

=(cos(+) + i sin(+)),

=(cos(-)+ i sin(-)) при 0.

Утверждение 4.

Если z = (cos + i sin ), то  натурального n:

= (cos n + i sin n ),

Билет 3

Пусть X-числовое множество, содержащее хотя бы одно число (непустое множество).

x  X - x содержится в Х. ; x  X - x не принадлежит Х.

Определение: Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует число М(m) такое, что для любого x  X выполняется неравенство x  M (x  m), при этом число М называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество Х называется ограниченным сверху, если  M,  x  Х x  M. Определение неограниченного сверху множества. Множество X называется неограниченным сверху, если  M  x  Х x  M. Определение множество X называется огранич., если оно ограничено сверху и снизу, то есть  М, m такие, что  x  Х m  x  M. Эквивалентное определение огр мн-ва: Множество X называется ограниченным, если  A > 0,  x  X: x A. Определение: Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется его точной верхней гранью, и обозначается SupХ

(супремум). =SupХ. Аналогично можно определить точную

нижнюю грань. Эквивалентное определение точной верхней грани:

Числоназывается точной верхней гранью множества Х, если: 1) x  X: х  (это условие показывает, что - одна из верхних граней). 2)<  x  X: х > (это условие показывает, что-

наименьшая из верхних граней).

Sup X=:

1.  x X: x .

2. <  x X: x >.

inf X (инфимум)-это точная нижняя грань. Поставим вопрос: всякое ли ограниченное множество имеет точные грани?

Пример: Х = {x: x>0} не имеет наименьшего числа.

Теорема о сущ-нии точной верх (ниж) грани. Всякое непустое огранич сверху (снизу) мн-во xR имеет точ верх(ниж) грань.

Теорема об отделимости числовых мн-в: ▀▀▄