- •Часть 2
- •1°. Общее уравнение прямой
- •3) . Прямая (или ) параллельна оси .
- •5) . Прямая (или ) совпадает с осью .
- •2°. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •4°. Уравнение прямой в отрезках
- •5°. Каноническое уравнение прямой
- •6°. Параметрические уравнения прямой
- •7°. Нормальное уравнение прямой
- •8°. Угол между двумя прямыми
- •9°. Пересечение прямых. Расстояние от точки до прямой. Пучок прямых
- •Примеры
- •1.2. Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Плоскость и прямая в пространстве
- •1°. Общее уравнение плоскости.
- •2°. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3°. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •4°. Нормальное уравнение плоскости.
- •5°. Уравнение плоскости, параллельной двум данным векторам.
- •6º. Уравнение пучка плоскостей.
- •7°. Угол между двумя плоскостями.
- •9°. Расстояние от точки до плоскости.
- •Примеры
- •1.4. Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Прямая
- •4º. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •Примеры
- •1.6. Задачи для самостоятельного решения
- •2. Линии и поверхности
- •2.1. Линии второго порядка в декартовой системе координат
- •1°. Эллипс.
- •Примеры
- •2º. Гипербола.
- •Примеры
- •3. Парабола.
- •Примеры
- •2.2. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка
- •1º. Уравнения, не содержащие члена с произведением координат.
- •Примеры
- •2º. Упрощение общего уравнения второй степени.
- •Примеры
- •2.3. Поверхности второго порядка.
- •2.4. Задачи для самостоятельного решения
- •Оглавление
- •1. Прямые и плоскости 3
- •1.1. Прямая на плоскости 3
1.6. Задачи для самостоятельного решения
1. Найти уравнения проекций прямой на координатные плоскости.
2. Привести к каноническому виду уравнения прямой
3. Вычислить углы, образованные с осями координат прямой
4. Найти уравнения прямой, проходящей через точку и образующей с осями и углы 45° и 60º.
5. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно:
а) вектору ; б) прямой
в) оси ; г) оси ; д) прямой
е) прямой
6. Найти угол между прямыми и
7. Даны две вершины параллелограмма АВСD: и и точка пересечения диагоналей . Найти уравнения стороны АВ.
8. Треугольник АВС образован пересечением плоскости с координатными осями. Найти уравнение средней линии треугольника, параллельной плоскости .
9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и образующей равные углы с векторами .
10. Заданы прямая и точка . Требуется:
а) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L и точку М;
б) написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой L;
в) написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую L;
г) вычислить расстояние ;
д) найти проекцию точки М на прямую L.
11. Заданы плоскость Р: и прямая L: . Требуется:
а) вычислить и координаты точки пересечения прямой и плоскости;
б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости Р;
в) написать уравнения проекции прямой L на плоскость Р.
12. Доказать, что прямые L1: и параллельны и найти расстояние .
13. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости и пересекающей прямую
14. Написать канонические уравнения прямой, которая проходит через точку параллельно плоскости и пересекает прямую
15. Найти точку, симметричную точке относительно прямой
16. Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую и равноудаленной от точек и .
17. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L1: параллельно прямой
18. Вычислить расстояние между прямыми и L2:
19. Написать уравнение общего перпендикуляра к прямым L1: и L2:
20. Доказать, что прямые L1: и L2: лежат в одной плоскости и написать уравнение этой плоскости.
Ответы
1) 2) . 3) . 4) . 5) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . 6) . 7) . 8) . 9) . 10) а) ; б) ; в) или ; г) ; д) . 11) а) ; б) ; в) 12) . 13) . 14) . 15) . 16) . 17) . 18) . 19) 20) .
2. Линии и поверхности
2.1. Линии второго порядка в декартовой системе координат
Линией (кривой) второго порядка называется множество точек плоскости, декартовы координаты и которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени
, (2.1)
где коэффициенты уравнения – постоянные действительные числа. Уравнение (2.1) называется общим уравнением линии второго порядка.
В общем случае уравнение (2.1) может определять так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых).
Если кривая невырожденная, то для нее найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой задает эллипс, гиперболу, параболу.