Ряды.

§1. Числовые ряды.

1. Основные понятия. Примеры.

Определение: Пусть {a_n} – числовая последовательность. Выражение a₁+a₂+…+a₃+…= называется числовым рядом. Числа а₁, а₂, …- члены ряда, причем a_n – общий член ряда. Сумма S_n=a₁+a₂+…+a₃= называется n-ой частичной суммой данного ряда (сумма первых n членов ряда).

Определение: Если существует конечный предел последовательности {S_n} равный S, то ряд называется сходящимся, а число S – его суммой. .

Если же такого предела не существует, либо он равен , то ряд называется расходящимся.

Предложение: Ряд - сходится , (последовательность остатков 0).

Доказательство. Из равенства 1 можно представить r_n=S-S_n, тогда

2. Простейшие свойства числовых рядов.

1.Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость или расходимость.

2.Пусть ряд и ряд - сходится, тогда сумма этих рядов тоже сходится.

Доказательство. - предел существует.

1.Если ряд - сходится, то и ряд -сходится, где c - некоторое число. Что всякая линейная комбинация сходящихся рядов есть сходящийся ряд.

§2. Необходимые условия сходимости числового ряда. Гармонический ряд.

Теорема 1 (необходимый признак сходимости). Если ряд - сходится, то общий член ряда → 0 ( ).

Доказательство. Между частичными суммами существует следующая связь: S_n=S_n-1+a_n, и поэтому .

Следствие: (достаточный признак расходимости). Если , то ряд расходится.

Пример1. -гармонический ряд. → ряд расходится.

§3. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Общий вид: , .

Теорема 1 (предельный признак сравнения). Пусть и с положительными членами. Если существует , который и , тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Обозначим ; . Согласно определению обозначим все члены последовательности { } начиная с некоторого номера находящегося сколь угодно близко к L, т.е. существует номер такой, что .

Умножим все части неравенства на b_n (b_n>0), получим следующее:

.

1.Пусть сходится ряд , тогда сходится и тогда согласно теореме 3 ввиду неравенства (**) сходится ряд .

2.Пусть сходится ряд , тогда согласно теореме 3 ввиду неравенства (**) сходится ряд из чего следует сходимость .

Аналогично доказывается случай расходимости.

Замечание. Применяя признак сходимости чаще всего сравнивают с и .

Теорема 2 (признак сравнения). Пусть имеется два ряда и и существует номер n₀ N такой, что выполняется следующее неравенство , тогда:

1. если ряд - сходится - сходится.

2. если ряд - расходится - расходится.

Доказательство. Можно считать, что члены второго ряда членам первого ряда уже начиная с первого номера (иначе можно рассматривать остатки ряда; их сходимость и расходимость равносильна сходимости или расходимости рядов). Считаем, что неравенства выполняется для , тогда аналогичное неравенство выполняется и для {S_n}, т.е. .

1. Пусть - сходится, тогда последовательность { }- ограничена, значит ограничена и последовательность {S_n} - сходится.

2. Пусть - расходится. Это означает, что неограниченна его последовательность частичных сумм S_n = { } – неограниченна, значит расходится .