2º. Гипербола.
Гиперболой называется множество
точек плоскости, модуль разности
расстояний до двух данных точек
и
,
называемых фокусами, есть величина
постоянная (ее обозначают
),
меньшая, чем расстояние между фокусами
.
Каноническое уравнение гиперболы
,
(2.4)
где
,
– действительная полуось,
– мнимая полуось гиперболы. Координаты
фокусов гиперболы:
,
,
где
.
Гипербола состоит из двух ветвей и
расположена симметрично относительно
осей координат.
Точки
и
называются вершинами гиперболы.
Отрезок
такой, что
,
называется действительной осью
гиперболы, а отрезок
такой, что
,
мнимой осью.
Эксцентриситетом гиперболы называется
отношение фокусного расстояния
к длине
действительной оси:
.
Асимптотами гиперболы называют
прямые, определяемые уравнениями
.
Для построения асимптот гиперболы
строят осевой прямоугольник со сторонами
,
,
,
.
Прямые, проходящие через противоположные
вершины этого прямоугольника, являются
асимптотами гиперболы.
Эксцентриситетом гиперболы называется
отношение фокусного расстояния
к длине
действительной оси:
.
Директрисами гиперболы называются
прямые, определяемые уравнениями:
и
.
Фокальные радиусы точки правой ветви
гиперболы вычисляются по формулам:
,
;
фокальные радиусы точки левой ветви
гиперболы – по формулам:
,
.
Гипербола с равными полуосями
называются равносторонней; ее
каноническое уравнение имеет вид
.
Ее асимптоты образуют прямой угол.
Две гиперболы
и
имеют одни и те же полуоси и одни и те
же асимптоты, но действительная ось
одной служит мнимой осью другой, и
наоборот.
Такие две гиперболы называют сопряженными.
Примеры
1. На правой ветви
гиперболы
найти точку, расстояние которой от
правого фокуса в два раза меньше ее
расстояния от левого фокуса.
Решение. Для правой ветви гиперболы
фокальные радиусы-векторы определяются
по формулам
,
.
Следовательно, имеем уравнение
,
откуда
;
здесь
,
,
т. е.
.
Ординату находим из уравнения гиперболы:
.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют
две точки:
и
.
2. Эксцентриситет
гиперболы равен
.
Составить простейшее уравнение гиперболы,
проходящей через точку
.
Решение. Согласно определению
эксцентриситета, имеем
,
или
.
Но
,
следовательно,
,
или
,
т. е гипербола равносторонняя.
Другое равенство получим из условия
нахождения точки
на гиперболе, т. е.
,
или
.
Поскольку
,
получим
,
т. е.
.
Таким образом, уравнение искомой
гиперболы имеет вид
.
3. Найти полуоси, координаты фокусов
и эксцентриситет гиперболы, заданной
уравнением
.
Вычислить длины фокальных радиусов
точки
.
Решение. Разделив обе части данного
уравнения на 20, получим
.
Сравнивая это уравнение с уравнением
(2.4), заключаем, что
,
,
т. е.
,
.
Так как
,
то
,
,
,
,
.
Поскольку точка
лежит на левой ветви гиперболы, то
,
.
Отметим, что
.
3. Парабола.
Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой, лежащих в той же плоскости.
Уравнение параболы, симметричной
относительно оси
и проходящей через начало координат,
имеет вид
;
(2.5)
уравнение ее директрисы
.
Парабола, определяемая уравнением
(2.5), имеет фокус
.
Фокальный радиус ее точки
вычисляется по формуле
.
Парабола, симметричная относительно
оси
и проходящая через начало координат,
определяется уравнением
;
(2.6)
Фокус этой параболы находится в точке
;
уравнение ее директрисы имеет вид
.
Фокальный радиус точки
параболы (2.6) выражается формулой
.
При
параболы (2.5) и (2.6) обращены в положительную
сторону соответствующей оси, а при
– в отрицательную сторону.