- •Часть 2
- •1°. Общее уравнение прямой
- •3) . Прямая (или ) параллельна оси .
- •5) . Прямая (или ) совпадает с осью .
- •2°. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •4°. Уравнение прямой в отрезках
- •5°. Каноническое уравнение прямой
- •6°. Параметрические уравнения прямой
- •7°. Нормальное уравнение прямой
- •8°. Угол между двумя прямыми
- •9°. Пересечение прямых. Расстояние от точки до прямой. Пучок прямых
- •Примеры
- •1.2. Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Плоскость и прямая в пространстве
- •1°. Общее уравнение плоскости.
- •2°. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3°. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •4°. Нормальное уравнение плоскости.
- •5°. Уравнение плоскости, параллельной двум данным векторам.
- •6º. Уравнение пучка плоскостей.
- •7°. Угол между двумя плоскостями.
- •9°. Расстояние от точки до плоскости.
- •Примеры
- •1.4. Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Прямая
- •4º. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •Примеры
- •1.6. Задачи для самостоятельного решения
- •2. Линии и поверхности
- •2.1. Линии второго порядка в декартовой системе координат
- •1°. Эллипс.
- •Примеры
- •2º. Гипербола.
- •Примеры
- •3. Парабола.
- •Примеры
- •2.2. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка
- •1º. Уравнения, не содержащие члена с произведением координат.
- •Примеры
- •2º. Упрощение общего уравнения второй степени.
- •Примеры
- •2.3. Поверхности второго порядка.
- •2.4. Задачи для самостоятельного решения
- •Оглавление
- •1. Прямые и плоскости 3
- •1.1. Прямая на плоскости 3
1.2. Задачи для самостоятельного решения
1. Написать общее уравнение прямой, заданной:
а) точкой и нормальным вектором ;
б) точкой и направляющим вектором ;
в) двумя своими точками и .
Привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.
2. Уравнение прямой задано в виде . Написать:
а) общее уравнение прямой; б) уравнение с угловым коэффициентом; в) уравнение в отрезках; г) нормальное уравнение.
3. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол .
4. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат равные отрезки, если длина отрезка прямой, заключенного между осями координат, равна .
5. Найти угол между прямыми , .
6. Луч света направлен по прямой . Определить точку встречи луча с осью и уравнение отраженного луча.
7. Из точки выходит луч света под углом к оси и отражается от оси , а затем от оси . Написать уравнение всех трех лучей.
8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку под углом к прямой L : , .
9. В равнобедренном треугольнике дана вершина острого угла и уравнение противоположного катета . Составить уравнение гипотенузы и другого катета.
10. Исследовать взаимное расположение заданных прямых и . При этом в случае параллельности этих прямых найти расстояние между ними, в случае пересечения этих прямых – косинус угла между ними и точку пересечения прямых.
а) ;
б) ;
в) .
11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной прямой
12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной к прямой .
13. Написать уравнение прямой, параллельной двум заданным прямым и и проходящей посередине между ними.
14. Найти точку , симметричную точке относительно прямой .
15. Составить уравнение сторон квадрата, если дана его вершина и точка пересечения диагоналей
16. Проверить, что четыре точки служат вершинами трапеции и составить уравнения средней линии и диагоналей трапеции.
17. Написать уравнение прямой, которая отстоит от точки на расстояние и образует с осью угол, вдвое больший угла, составляемого с осью прямой
18. Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой
19. Через точку провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна трем квадратным единицам.
20. Составить уравнение множества точек, равноудаленных от двух прямых и
21. Составить уравнение биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми: и
22. Вычислить длину перпендикуляра, проведенного из точки к прямой .
23. Вычислить площадь квадрата, две противоположные стороны которого лежат на прямых
24. Найти проекцию точки на прямую, проходящую через точки и .
25. Написать уравнения сторон треугольника ABC, если задана его вершина и уравнения двух медиан и
26. Составить уравнения сторон треугольника , зная его вершину , а также уравнения высоты и биссектрисы проведенных из одной вершины. Решить задачу, не вычисляя координат вершин В и С.
27. Написать уравнения сторон треугольника ABC, зная одну его вершину , а также уравнения высоты и медианы , проведенных из различных вершин.
28. Даны уравнения биссектрис двух внутренних углов треугольника и уравнение стороны, соединяющей вершины, из которых выходят данные биссектрисы. Написать уравнения двух других сторон треугольника.
29. Даны уравнения двух сторон параллелограмма , и точка пересечения его диагоналей . Найти уравнения двух других сторон.
30. Даны стороны треугольника: , . Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В и через точку на стороне , делящую ее (считая от вершины А) в отношении
Ответы
1) а) ; ; . б) ; ; . в) , . 2) а) ; б) ; в) ; г) . 3) . 4) , . 5) . 6) , . 7) ; ; . 8) , . 9) Гипотенуза: или . Катет: . 10) а) пересекаются, ; б) параллельны, ; в) совпадают. 11) 12) 13) 14) 15) 16) , 17) 18) 19) 20) . 21) 22) 4. 23) 9. 24) 25) 26) 27) ; ; 28) 29) 30)