- •Основы теории автоматического управления Конспект лекций
- •Терминология
- •Введение
- •1. Классификация систем автоматического регулирования
- •1.1. Классификация по основному признаку
- •1.2. Общая классификация систем автоматического управления
- •2. Математические модели элементов и систем управления
- •2.1. Передаточные функции. Преобразования Лапласа
- •2.2. Типовых звенья и их передаточные функции
- •2.2.1. Усилительное (безынерционное) звено
- •2.2.2. Интегрирующие звенья
- •1. Идеальное интегрирующее звено
- •2. Интегрирующее звено с замедлением
- •3. Изодромное звено
- •2.2.3. Дифференцирующие звенья
- •1. Идеальное дифференцирующее звено
- •2. Дифференцирующее звено с замедлением
- •2.2.4. Инерционное звено первого порядка (апериодическое)
- •2.2.5. Интегро-дифференцирующее звено
- •2.2.6. Инерционное звено второго порядка
- •2.2.7. Запаздывающее звено
- •2.2.8. Представление реальных аср типовыми звеньями
- •3. Основные характеристики звеньев и систем
- •3.1. Статические свойства элементов и систем
- •3.2. Соединения статических элементов
- •3.3. Временные характеристики
- •3.4. Частотные характеристики
- •3.5. Частотные характеристики типовых звеньев
- •1. Частотная характеристика усилительного звена (безынерционного)
- •2. Частотные характеристики инерционного звена первого порядка
- •3. Частотные характеристики интегрирующего звена
- •4. Дифференцирующее звено
- •5. Инерционное звено второго порядка
- •6. Колебательное звено
- •7. Запаздывающее звено
- •8. Частотные характеристики интегро-дифференцирующих звеньев и их соединений
- •3.6. Соединение звеньев. Передаточные функции соединений
- •1. Последовательное соединение звеньев
- •2. Параллельное соединение звеньев
- •3. Встречно-параллельное соединение звеньев или соединение с обратной связью
- •4. Эквивалентные преобразования структурных схем
- •3. Пропорцилнально-интегральные регуляторы
- •4. Пропорционально-интегрально-дифференциольные регуляторы
- •3.8. Последовательные и параллельные корректирующие устройства
- •3.9 Передаточные функции систем автоматического регулирования
- •4. Импульсные системы
- •4.1. Математическое описание дискретных объектов управления в электромеханических системах
- •4.2. Общие сведения об импульсных системах
- •4.3. Цифровые регуляторы в электромеханических системах
- •4.3.1. Методика синтеза регуляторов в мехатронной системе
- •5. Устойчивость линейных систем автоматического регулирования
- •5.1. Постановка задачи исследования устойчивости
- •5.2. Оценка устойчивости разомкнутой и замкнутой системы с помощью алгебраического критерия Рауса-Гурвица
- •5.3. Частотные критерии устойчивости
- •1. Критерий Михайлова
- •2. Критерий устойчивости Найквиста
- •Приложения
- •Список литературы
- •Оглавление
2. Математические модели элементов и систем управления
Математическое описание системы начинается с разделения ее на элементы, для которых должны быть составлены уравнения, описывающие их функционирование. Уравнения составляются на обнове анализа физических, химических, экономических и других процессов, происходящих в системе, с помощью законов сохранения энергии и вещества, законов электротехники, механики, гидравлики и т.д.
Система уравнений, с достаточной точностью описывающая поведение объекта во времени и пространстве, называется математической моделью. Разработка и уточнение моделей занимает от 80 до 90 процентов времени, затрачиваемого на проектирование систем автоматического управления [29]. При этом следует отдавать себе отчет, что никакая математическая модель физической системы не является точной. Можно повышать точность модели, увеличивая количество и сложность уравнений, но всё же не возможно добиться абсолютной точности. Поэтому следует стремиться к тому, чтобы модель адекватно отражала поведение физической системы в области её работоспособности и в то же время была не слишком сложной, доступной для аналитических преобразований и численного расчета.
2.1. Передаточные функции. Преобразования Лапласа
Исследование автоматической системы регулирования (АСР) существенно упрощается при использование прикладных математических методов операционного исчисления.
Дифференциальное уравнение (ДУ) элемента регулирующей системы связывает выходные величины с входными величинами и в общем случае имеет вид:
(2.1)
где – выходная величина элемента (в отклонениях от состояния равновесия);
– входная величина элемента (в отклонениях от состояния равновесия);
– постоянные коэффициенты, определяемые конструктивными особенностями и параметрами настройки элемента.
Если в уравнении (2.1) вместо функций времени и ввести функции и комплексного переменного , поставив условием, что эти функции связаны зависимостями
(2.2)
то оказывается, что дифференциальное уравнение, содержащее функции и при нулевых начальных условиях (при ) равносильно линейному алгебраическому уравнению, содержащему функции и :
(2.3)
Такой переход от дифференциального уравнения к однозначно соответствующей алгебраической форме называется преобразованием Лапласа. Функция называется изображением функции , функция называется оригиналом функции .
Операция перехода от искомой функции к ее изображению (нахождение изображение от оригинала) называется прямым преобразованием Лапласа, которое производится в соответствии с преобразованием Римана-Мелина:
,
в котором интегрирование ведется в комплексной плоскости вдоль бесконечной прямой, параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особенностей функции . Математически прямое преобразование Лапласа записывается условно с помощью символа как
Операция перехода от изображения к искомой функции (нахождение оригинала от изображения) называется обратным преобразованием Лапласа. Математически обратное преобразование Лапласа записывается с помощью символа как
Возможна запись соответствия между оригиналом и изображением по аналогии с таблицей
Практически переход от дифференциального уравнения к алгебраическому уравнению происходит без каких-либо вычислений. Если сравнить уравнение (2.1) с уравнением (2.3), то нетрудно заметить, что формальный переход от дифференциального уравнения к алгебраическому при нулевых начальных условиях получается путем замены символов дифференцирования оригиналов функций соответственно и функций – их изображениями . С комплексной переменной , как и с другими членами алгебраического уравнения, можно производить различные действия: умножение, деление, вынесение за скобки и т.д.
Обозначив производную , согласно (2.2) найдем изображение .
.
Интегрируя по частям, получим
(так как согласно условию существования интеграла Лапласа).
Итак, изображение производной при нулевых начальных условиях имеет вид:
Таким образом, мы убедились в правомерности формального перехода от дифференциальной формы записи производной к ее записи в операторной форме, заменив символ дифференцирования комплексной переменной при нулевых начальных условиях.
Так как
, то и т.д.
Аналогично можно доказать, что операции интегрирования оригинала соответствует операция деления изображения этого оригинала на комплексный оператор . Так при нулевых начальных условиях
.
Поскольку интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов от отдельных выражений, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то преобразование Лапласа обладает свойствами линейности, а именно
;
.
Каждый элемент АСР в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2.1). Следовательно, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько дифференциальных уравнений высших порядков.
Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу позволяет свести эту задачу к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраических уравнений изображение искомой функции , определяющей переходный процесс в системе, по таблицам соответствий оригиналов и их изображений находят эту функцию. (См. Приложение 1). Либо вышеназванный переход можно осуществить по известным формулам обратного преобразования Лапласа в соответствии с теоремой разложения.
Кроме того, преобразование уравнений по Лапласу дает возможность ввести очень значимое для теории управления понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства любого элемента системы. С помощью передаточных функций расчет систем автоматического регулирования (САР) еще больше упрощается и становится доступным широкому кругу инженерно-технических работников, не требуя применения сложного математического аппарата.
Вынося в уравнении (2.3) за скобки и , получим:
(2.4)
Определим из уравнения (2.4) отношение изображения выходной величины к изображению входной:
(2.5)
Отношение изображения выходной величины элемента системы к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называют передаточной функцией элемента системы.
Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной :
, (2.6)
где
– полином степени ,
– полином степени .
Из уравнения (2.5) следует, что передаточная функция элемента системы и изображение его входной величины определяют изображение выходной величины:
. (2.7)
Данное выражение есть реакция элемента системы на входное воздействие, эта реакция всецело зависит от передаточной функции, т.е. от динамических свойств элемент системы (звена). Предполагается, что входное воздействие известно – синусоидальное, единичное или импульсное.