- •Оптимальные и адаптивные системы (1 четверть).
- •Введение.
- •Глава 1. Принцип максимума Понтрягина (пмп).
- •Методика пмп.
- •Связь оптимального управления с энергией, запасаемой в объекте.
- •Теорема об n-интервалах.
- •Определение моментов переключения управляющих функций. Метод стыковки решения.
- •Задача об управлении консервативным объектом.
- •Аналитический синтез оптимальных регуляторов по квадратичному критерию качества.
- •Дискретная форма вариационной задачи. Принцип оптимальности Беллмана.
- •Непрерывная задача динамического программирования.
- •Глава 2. Общая характеристика адаптивных систем. Их классификация.
- •Типы самонастраивающихся систем (снс).
-
Связь оптимального управления с энергией, запасаемой в объекте.
- Энергия, выделяемая за время (0, τ)на сопротивлении.
– энергия, запасенная в катушке L.
S3 – энергия, рассеиваемая на сопротивлении, равная запасенной катушки.
Чтоб система перенесла в новое установившееся состояние , она должна запасти строго определенное количество энергии .
Рассмотрим задачу скорейшего перевода этой системы в желаемое состояние . Пусть максимальное напряжение равно Emax. Для перевода в новое состояние применим форсированное управление.
Вычислим S4 при форсированном управлении.
.→
При форсированном управлении объектом первого порядка количество запасаемой энергии строго соответствует необходимому для установившегося состояния. Такое управление справедливо для объекта первого порядка. Рассмотрим объект второго порядка: .
S2 – необходимое количество энергии.
Применим к этому объекту форсированное управление.
Можно показать, что для объекта второго порядка S4>S2 и поэтому процесс в момент времени τ не прекращается. Чтоб обеспечить максимальное быстродействие для объекта 2го порядка применяется управляющее воздействие вида (излишек энергии тратится на интервале (t1; t2)).
-
Теорема об n-интервалах.
Для линейной системы n-го порядка, у которой все корни характеристического уравнения действительны, а на управление наложены ограничения по уровню , оптимальным, с точки зрения линейного функционала будет управление, принимающее граничные значения и имеющее не более n интервалов знакопостоянства.
-
ОУ – линейный.
-
Функционал – линейный.
-
Корни характеристического уравнения – действительны.
-
Управления ограничены по уровню.
-
Определение моментов переключения управляющих функций. Метод стыковки решения.
Суть метода рассмотрим на примере объекта 2го порядка:
. (1)
Этот объект необходимо перевести из начального состояния в конечное за минимальное время.
Корни характеристического уравнения действительные.
Общее решение уравнения (1): . Для определенности будем считать, что , значит . Найдем процессы , на первом интервале при оптимальном управлении:
Скорость изменения:
Аналогично для 2го интервала:
Для объекта 2го порядка функции y(t) и будут непрерывные. В момент времени τ должны выполнятся условия стыковки (4).
Имеется система с шестью неизвестными С11, С12, С21, С22, τ и T. Эти неизвестные определяются из системы шести нелинейных уравнений. Для их составления используются 4 граничных условия (2), (3) и условие стыковки (4).
Для объекта порядка n имеем, при оптимальном управлении, n интервалов, n(n+1) уравнений и столько же неизвестных.
-
Задача об управлении консервативным объектом.
Если функционал не линеен или корни характеристического уравнения не действительны, то теорему об n интервалах применять нельзя. Рассмотрим пример. Имеется модель ОУ:
Этот объект нужно перевести из начального состояния в конечное за минимальное время:
При ограничении на управлении: .
Решение. n=2, характеристическое уравнение . Применяем для решения задачи методику ПМП.
Следовательно, функция может менять знак более чем 2 раза. Поэтому оптимальное управление U* может содержать более 2х интервалов постоянства.