- •Министерство образования российской федерации
- •Теория статистики
- •Комплексное задание для самостоятельной работы и методические указания к его выполнению.
- •Содержание комплексного задания.
- •1. Выбор варианта соответствует фамилии студента.
- •Решение типовых задач
- •Корреляционный анализ.
- •Методические указания и решение типовых задач к заданию 2
- •Возможности современного статистического программного обеспечения1
- •Библиографический список
Корреляционный анализ.
Корреляционной называется связь между факторным и результативным признаками, которая проявляется только «в общем и среднем» при массовом наблюдении фактических данных.
Условием корректного использования корреляционного метода является однородность совокупности, отсутствие « аномальных » наблюдений, достаточно большое число единиц совокупности.
Проверка исходных данных на однородность и аномальность проведена выше.
Теория корреляции решает следующие вопросы:
-
содержательный анализ и установление факторного и результативного признаков;
-
установление факта наличия связи, определение ее направления и формы;
-
измерение тесноты связи
-
расчет параметров регрессионной модели и нахождение аналитического выражения связи;
-
оценка адекватности модели, ее экономическая интерпретация.
Содержательный анализ исходных данных выполнен ранее и установлено, что акционерный капитал – факторный признак (x), прибыль – результативный (y).
Установление факта наличия связи осуществляется на основе групповой табл. 10 и графическим способом путем изображения поля корреляции и графика эмпирической линии регрессии (рис.1)
Таблица 10
Группы предпр. по размеру акцион. капитала, млн р. |
Число предприятий |
Середина интервала (х) |
Прибыль в сред. на 1 пред., млн р. (у) |
|
ух |
|
(теоретическ. уровни) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
526-630 630-734 734-838 838-942 942-1046 |
5 5 6 7 2 |
578 682 786 890 994 |
5,28 7,18 15,68 18,83 22,3 |
334084 465124 617796 792100 988036 |
3051,84 4896,76 12324,48 16758,7 22166,2 |
27,8784 51,5524 245,8624 354,5689 497,29 |
4,73 9,28 13,85 18,42 22,99 |
Итого |
25 |
3930 |
69,27 |
3197140 |
59197,98 |
1177,1521 |
69,27 |
Анализ табл. 10 свидетельствует о прямой связи между акционерным капиталом и прибылью предприятий (гр.3, гр.4).
Рис. 1
Эмпирическую линию регрессии (рис.1) строим по данным табл.10, принимая за середину интервала, за - прибыль в среднем на одно предприятие по каждой группе.
Направление эмпирической линии регрессии свидетельствует о наличии прямой зависимости между прибылью и акционерным капиталом предприятий.
Предполагая, что зависимость между акционерным капиталом и прибылью, имеет линейную форму, определяем тесноту связи на основе линейного коэффициента корреляции (). Для этого воспользуемся расчетами выполняемыми в табл. 10.
Коэффициент корреляции может быть в пределах от -1 до +1. Чем ближе к единице, тем теснее связь.
Значение r =0,979 свидетельствует об очень тесной связи между акционерным капиталом и прибылью. Связь прямая.
Для подтверждения этого необходимо дать оценку существенности линейного коэффициента корреляции, что можно выполнить на основе расчета t- критерия Стьюдента.
находим по таблице Стьюдента (прил. 3). Для числа степеней свободы к=n-2=25-2=23 и уровня значимости 1% =2,8073.
22,9 2,8073. Следовательно, с вероятностью 0,99 можно утверждать, что в генеральной совокупности существует достаточно тесная зависимость между величиной акционерного капитала и прибылью предприятий.
Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии обычно используют коэффициент детерминации. Для случая парной регрессии это квадрат коэффициента корреляции переменных Х и У (r).
В нашей задаче r2 = 0,9792 = 0,96
Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменной, объясненной с помощью данного уравнения.
Интерпретация полученного коэффициента такова: r = 0,96 умножается на 100 и выражается как процентная доля вариации У, которая объясняется вариацией Х.
Таким образом, в нашем примере 96% изменения прибыли объясняется изменением акционерного капитала.
Параметры уравнения регрессии (а и в) определяем способом наименьших квадратов из системы уравнения (расчеты в табл. 10).
Для решения системы информацию берем из табл. 10.
5а+3930в=69,27
3930а+3197140в=59197,98
а=
54446,22-3088980в+3197140в=59197,98
108160в=4751,76
в=
а=
=-20,7+0,044х
Коэффициент регрессии в=0,044 свидетельствует о том, что при увеличении акционерного капитала на 1 млн р. прибыль возрастет на 0,044 млн р. или на 44 тыс. р.
По коэффициенту регрессии определяем коэффициент эластичности (Э) и -коэффициент.
0,97
Следовательно, при увеличении акционерного капитала на 1%, прибыль увеличится на 2,54%.
При увеличении акционерного капитала на одно свое среднеквадратическое отклонение прибыль увеличится на 0,97 своих среднеквадратических отклонений.
Анализ рядов динамики проведем на примере динамики прибыли по одному из предприятий, входящих в совокупность, в частности по предприятию № 5.
При анализе будут использованы следующие показатели:
1) характеризующие изменение прибыли по периодам:
а) абсолютный прирост (Δa);
б) темп (коэффициент) роста ;
в) темп прироста .;
г) абсолютное значение одного процента прироста (А).
Все эти показатели могут быть рассчитаны цепным и базисным методом. Цепные показатели динамики характеризуют изменения каждого последующего показателя по сравнению с предыдущим, а базисные по сравнению с уровнем, принятым за базу сравнения (в этой работе – с первоначальным уровнем).
,
где
- уровень сравниваемого периода
- уровень предыдущего периода
- первоначальный уровень (здесь базисный).
Существует взаимосвязь между цепными и базисными темпами роста, выраженными коэффициентами: произведения последовательных цепных темпов роста равно соответствующему базисному.
2)Абсолютное значение одного процента прироста рассчитывается отношением цепного абсолютного прироста к темпу цепного прироста.
3)Пункты роста () представляет собой разность базисных темпов роста, выраженных в процентах
4)Средние показатели динамики определяются для обобщающей характеристики ряда. К ним относят:
а) средний уровень ряда для периодических рядов с уровнями, выраженными абсолютными величинами
б) средний абсолютный прирост (а)
,
где n- число уровней ряда.
в) средний коэффициент роста ()
г) средний темп роста
д) средний темп прироста
Результаты расчетов этих показателей по данным о прибыли предприятия № 5 за период с 4 квартала предыдущего года по 4 квартал отчетного года приведены в табл. 11.
Таблица 11
Периоды
|
При- быль млн р.
|
Абсолют. приросты млн р. |
Темпы роста (%) |
Темпы прироста (%) |
Абсол. содерж. 1% прир. млн р. |
Пункты роста % |
|||
цепные |
баз. |
цепные |
баз. |
цепные |
баз. |
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
4 кв. пред. пер. 1 кв. 2 кв. 3 кв. 4 кв. |
17,3 19,8 21,6 22,3 23,8 |
- 2,5 1,8 0,7 1,5 |
- 2,5 4,3 5,0 6,5 |
- 114,5 109,1 103,2 106,7 |
- 114,5 124,9 128,9 137,6 |
- 14,5 9,1 3,2 6,7 |
- 14,5 24,9 28,9 37,6 |
- 0,173 0,198 0,219 0,223
|
- - 10,4 4,0 8,7
|
Расчет средних показателей
а) средний уровень ряда млн р.
Следовательно, в изучаемом периоде в среднем ежеквартально прибыль предприятия составляла 20,96 млн р.
б) средний абсолютный прирост
1,625 млн р.
Следовательно, в изучаемом периоде в среднем ежеквартально прибыль предприятия увеличилась на 1,625 млн р.
в) среднегодовой темп роста
10,83%
Следовательно, в изучаемом периоде ежеквартально темп роста в среднем составлял 108,3%.
г) средний темп прироста 108,3-100=8,3%.
Следовательно, в среднем ежеквартальный темп прироста прибыли составлял 8,3%.
Прогноз прибыли на 1 кв. следующего периода составим на основе выявления основной закономерности изменения прибыли в прошедшем периоде, для чего используем трендовую модель по уравнению прямой: ,
гдепрогнозный уровень
«а» и «в»- параметры уравнения
t - порядковый номер на периоде.
Параметры «а» и «в» определяем способом наименьших квадратов из следующей системы уравнений:
где y- фактическая прибыль по периодам
n- число уровней.
Решение оформим табл. 12.
Таблица 12
Периоды |
Прибыль в млн р. у |
Порядковый номер периода t |
уt |
|
|
|
(y- |
4 квартал предыдущего года |
17,3 |
1 |
17,3 |
1 |
17,86 |
0,56 |
0,3136 |
1 кв. |
19,8 |
2 |
39,6 |
4 |
19,41 |
0,39 |
0,1521 |
2 кв. |
21,6 |
3 |
64,8 |
9 |
20,96 |
0,64 |
0,4096 |
3 кв. |
22,3 |
4 |
89,2 |
16 |
22,51 |
0,21 |
0,0441 |
4 кв. |
23,8 |
5 |
119,0 |
25 |
24,06 |
0,26 |
0,0676 |
Итого: |
104,8 |
15 |
329,9 |
55 |
104,8 |
- |
0,987 |
Решение:
5а+15в=104,8
15а+55в=329,9
329,9
314,4-45в+55в=329,9
10в=15,5
в=1,55 16,31
Следовательно, 16,31+1,55t
Так как 1 кв. следующего года имеет порядковый номер квартала- 6, то прибыль (прогнозная) составит
16,31+25,61 млн р.,
где 6 - порядковый номер прогнозного периода.
Используя приведенное уравнение, рассчитаем для каждого периода теоретическое значение прибыли (результаты см. в табл. 12).
У нас 104,8, что подтверждает правильность расчетов.
Но это точечный прогноз. Однако фактическое значение всегда будет сколько-нибудь отличаться от этой величины, поэтому надо определить доверительные интервалы прогноза ()
,
где s-среднее квадратическое отклонение от тренда;
- табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости а.
,
где 1) -фактические и теоретические уровни;
2) m- число параметров в уравнении тренда (m=2).
- берем из табл. 12.
0,5736
Относительная ошибка уравнения
4,3%
Следовательно, ошибка невелика и составляет чуть более 4%.
при уровне значимости 5% (что соответствует вероятности 0,95) и числе степеней свободы (n-m)=3 равно 3,182 (по таблице Стьюдента).
,
тогда 25,61-0,8225,61+0,82
24,7926,43
С вероятностью 0,95 можно утверждать, что прибыль предприятия № 5 в 1 квартале следующего года будет находиться в пределах от 24,79 млн р. до 26,43 млн р.
Применение методов наименьших квадратов для обработки рядов динамики не требует выдвижения никаких предположений о законах распределения исходных данных. Однако при использовании метода наименьших квадратов для обработки связных рядов следует учитывать наличие автокорреляции.
Наиболее распространенным примером выявления наличия автокорреляции в отклонениях от тренда, является использование критерия Дарбина-Уотсона, который рассчитывается по формуле
Эмпирическое правило гласит, что если критерии Дарбина-Уотсона находится в пределах до 2,5 , то не существует автокорреляции.
Расчет критерия Дарбина-Уотсона произведем в табл. 13.
Таблица 13
Периоды |
|
|
|
|
|
|
|
IV кв. предыд.г |
17,3 |
17,86 |
- 0,56 |
0,39 |
0,3136 |
0,95 |
0,9025 |
I квартал |
19,8 |
19,41 |
0,39 |
0,64 |
0,1521 |
0,25 |
0,0625 |
II квартал |
21,6 |
20,96 |
0,64 |
- 0,21 |
0,4096 |
- 0,85 |
0,7225 |
III квартал |
22,3 |
22,51 |
- 0,21 |
- 0,26 |
0,0441 |
- 0,05 |
0,0025 |
IV квартал |
23,8 |
24,06 |
- 0,26 |
- |
0,0676 |
- |
- |
Итого |
104,8 |
104,8 |
|
|
0,987 |
|
1,69 |
Так как коэффициент Дарбина-Уотсона находится в пределах до 2,5 (DW = 1,71), то отклонение уровней от тенденции (так называемые остатки) случайны и нет оснований утверждать, что не выполняются условия, выполнение которых предполагалось при оценивании уравнения тренда, и, следовательно, нет оснований для дополнительных исследований.