2. Системы координат

2.1. Декартова система координат

Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости.

Одна из осей называется осью Ox, или осью абсцисс, другая – осью Oy, или осью ординат. Эти оси называют также координатными осями.

Обозначим через M_x и M_y соответственно проекции произвольной точки M плоскости на оси Ox и Oy.

Декартовыми прямоугольными координатами x и y точки M будем называть соответственно величины направленных отрезков и :

- если направления и Ox совпадают, то координата x равна длине ,

- если противоположны, то x равна длине , взятой со знаком «минус». Применяется обозначение M(x, y).

Аналогично определяется координата y.

Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве.

Одна из осей называется осью Ox, или осью абсцисс, другую – осью Oy, или осью ординат, третья – осью Oz или осью аппликат. Эти оси называют также координатными осями в пространстве.

Декартовы прямоугольные координаты точки в пространстве определяются так же как и на плоскости .

2.2. Полярная система координат

Полярная система на плоскости задается точкой О, называемой полюсом, лучом ОР, называемым полярной осью и вектором единичной длины и того же направления, что и луч ОР.

Возьмем на плоскости точку М. Положение точки М определяется двумя числами: её расстоянием r=|ОМ| от полюса О и углом j, образованным отрезком ОМ с полярной осью; при этом отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Числа r, j называются полярными координатами точки М. Пишут М(r; j). При этом r называется полярным радиусом, j – полярным углом. Рассматривают главные значение полярного угла – из полуинтервала [0; 2p). Полярные координаты связаны с прямоугольными следующим образом (на рисунке полярная ось совпадет с осью абсцисс):

полярный радиус вычисляется по формуле ;

угол j в зависимости от значений x, y определяется по формулам

j = arctg(y/x), если x > 0, y ³ 0;

j = p – arctg(y/x), если x < 0, y < 0 или x < 0, y ³ 0;

j = 2p + arctg(y/x), если x > 0, y < 0;

j = p/2, если x = 0, y > 0;

j = 3p/2, если x = 0, y < 0.

Для начала координат О r=0, а угол j может быть произвольным.

Если же точка М задана в полярных координатах (r; j), а полярная ось совпадает с осью абсцисс, то

x = r cos j, y = r sin j.

2.3. Представление векторов в декартовой системе координат

Рассмотрим в пространстве декартову систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Оx, Оy и Oz единичные векторы (орты) и обозначим их , и .

Выберем произвольный вектор и совместим его начало с началом координат = . Найдем проекции a_x, a_y, a_z вектора на координатные оси Оx, Оy и Oz. Для этого проведем через конец вектора плоскости параллельно координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями координат обозначим соответственно М₁, М₂, М₃. Получим прямоугольный параллелепипед. Имеем

= ++.

Но = a_x, = a_y, = a_z, откуда

= a_x+ a_y+ a_z. (1)

Поскольку векторы , и некомпланарные, то представление вектора в виде линейной комбинации (1) единственно.

Формула (1) является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа a_x, a_y, a_z называются координатами вектора , то есть координаты вектора – это его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (1) часто записывают в символическом виде:

= (a_x, a_y, a_z)_.

Модуль вектора равен

Пусть углы вектора с осями Оx, Оy и Oz, соответственно, равны α, β и γ. Тогда

Следовательно:

Числа cosα, cosβ и cosγ называются направляющими косинусами вектора . Очевидно, что

сos²α + cos²β + cos²γ = 1.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Оxyz. Для любой точки М координаты вектора называются координатами точки М. Вектор называется радиус-вектором точки М, и обозначается = . Следовательно, координаты точки – это координаты её радиус-вектора (x, y, z) или = x+ y+ z. Координаты точки М записываются: М(x, y, z).

Даны две точки А(x₁, y₁, z₁) и В(x₂, y₂, z₂). Тогда

= = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁).

Все приведенные выше определения и утверждения, касающиеся представления векторов в координатной форме, справедливы и для векторов на плоскости: в этом случае будут фигурировать не три, а лишь две координаты.

2.4. Действия над векторами в декартовой системе координат

Равенство векторов.

Два вектора и равны тогда и только тогда, если

.

Линейные операции над векторами.

Пусть векторы = (a_x, a_y, a_z) и = (b_х; b_y; b_z) заданы своими проекциями на оси координат Оx, Оy и Oz:

= a_x+ a_y+ a_z,

= b_х+ b_y + b_z

Операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

1) ± = (а_х ± b_х) + (а_y ± b_y ) + (а_z ± b_z)

или

± = (а_х ± b_х; а_y ± b_y ; а_z ± b_z)

2) λ = λa_x+ λa_y+ λa_zили λ = (λа_х; λа_y; λа_z)

Коллинеарность векторов

Теорема 1. Два заданных вектора = (a_x, a_y, a_z) и = (b_х; b_y; b_z) коллинеарные, если найдется такое действительное число l, что будет справедливо векторное равенство =l. При этом число l определяется единственным образом.

Равенство =lможно представить в виде пропорции

Таким образом проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: два вектора, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Представление скалярного произведения в координатной форме

Даны два вектора =(a_x, a_y, a_z) и =(b_х; b_y; b_z). Их скалярное произведение в координатной форме:

(,) = a_x b_х + a_y b_y + a_z b_z .

Все приведенные в этом пункте определения и утверждения, справедливы и для векторов на плоскости: в этом случае будут фигурировать не три, а лишь две координаты.