Решение типовых задач

Пример расчета для задания 1.

Вариант № 0.

Выполняются задачи по следующим предприятиям:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 5, 11, 13.

Выстроим их по порядку номеров:

4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 20, 22, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48.

Всего 25 предприятий.

Исходные данные по этим предприятиям представим в табл. 5. Таблица 5

№ предприятия п/п	Акционерный капитал, млн р.	Прибыль, млн р.
	4 квартал отчетного года	4 квартал предыдущего года	Отчетный год
			1 квартал	2 квартал	3 квартал	4 квартал
1	2	3	4	5	6	7
4 5 8 10 11 12 13 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38	1045 1004 931 924 921 901 880 873 859 821 801 785 795 778 753 717 712 690 677 649	18,4 17,3 16,8 15,1 16,8 15,1 17,4 15,5 13,6 11,6 13,3 13,6 15,8 10,2 10,2 7,6 5,8 5,3 5,1 4,6	18,2 19,8 17,2 14,8 15,6 14,3 18,3 16,5 15,8 15,3 15,4 13,2 13,6 13,1 11,1 8,4 5,9 4,4 5,8 3,8	20,3 21,6 15,6 17,3 18,3 17,6 15,6 16,0 17,1 13,2 16,2 14,1 12,1 14,3 9,6 9,6 6,4 3,8 4,6 3,9	19,1 22,3 20,0 16,5 17,4 16,2 19,0 17,3 14,2 15,5 17,3 13,7 17,3 11,6 12,4 9,8 7,1 4,6 6,3 4,3	20,8 23,8 18,4 19,4 20,6 15,6 21,3 18,1 18,4 17,2 19,4 14,4 16,2 13,8 13,1 11,2 8,6 5,7 5,7 4,7
40 42 44 46 48	627 605 563 543 526	3,4 5,6 5,1 3,1 5,1	3,7 5,4 5,9 3,3 4,3	4,2 5,7 4,8 3,4 5,2	3,0 5,9 5,6 3,7 5,7	4,8 6,7 6,3 3,6 5,0

На основе логического анализа определяем, что акционерный капитал является факторным признаком (x), так как его величина в значительной степени определяет прибыль предприятий, которая будет результативным показателем (y).

В соответствии с заданием 3 произведем группировку предприятий по величине акционерного капитала, выделив мелкие, средние и крупные предприятия. Величину интервала определим по формуле:

, где

максимальное значение акционерного капитала

минимальное значение акционерного капитала

n – желаемое число групп.

По данным табл. 5, гр. 2 рассчитаем

млн р.

Далее заполняем рабочую табл. 6. Нижнюю границу первого интервала принимаем равной минимальному значению признака. Верхнюю границу каждого интервала получаем прибавлением к нижней границе величины интервала.

Таблица 6

Группы предприятий по величине капитала, млн р.	Акционерный капитал, млн р. (4 кв. отч. года).	Прибыль, млн р. (4 кв. отч. года)
526-699 699-872 872-1045	690, 677, 649, 627, 605, 563, 543, 526 859, 821, 801, 785, 795, 778, 753, 717, 712 1045, 1004, 931, 924, 921, 901, 880, 873	5,7; 5,7; 4,7; 4,8; 6,7; 6,3; 3,6; 5,0 18,4; 17,2; 19,4; 14,4; 16,2; 13,8; 13,1; 11,2; 8,6 20,8; 23,8; 18,4; 19,4; 20,6; 15,6; 21,3; 18,1

Результаты группировки приведены в следующей аналитической табл. 7.

Таблица 7

Группы пред-ий по размеру акц. кап. млн р.	Число пред-ий	Акц. кап., млн р.		Прибыль, млн р.		Удельный вес, %
		всего	в сред. на 1 пред.	всего	в сред. на 1 пред.	по числу пред.	по вел. акц. кап.	по вел. приб.
526-699 699-872 872-1045	8 9 8	4880 7021 7479	610,0 780,1 934,9	42,5 132,3 158,0	5,30 14,70 19,75	32 36 32	25,2 36,2 38,6	12,8 39,8 47,4
Итого:	25	19380	775,2	332,8	13,3	100	100	100

Значения показателей акционерного капитала и прибыли по каждой группе и по совокупности в целом получаются суммированием соответствующих значений по каждому предприятию.

Показатели в среднем на одно предприятие по каждой группе и по совокупности в целом рассчитываются делением суммарной величины акционерного капитала (или прибыли) на число предприятий по группе (или по совокупности в целом).

Показатели удельного веса (доли) рассчитываются делением соответствующего показателя по группе на итог по совокупности в целом.

По результатам группировки, проведенной в табл. 7 можно сделать следующие выводы:

Предприятия распределены практически поровну. В группе средних предприятий на одно больше, чем в других, но большая часть акционерного капитала (38,6%) сосредоточена в группе крупных предприятий и там получено 47,4% всей прибыли.

На долю мелких предприятий приходится 25,2% акционерного капитала, а прибыли всего - 12,8 %. Это свидетельствует о низкой эффективности деятельности предприятий этой группы.

Значения акционерного капитала и прибыли в среднем на одно предприятие значительно различаются по группам. Так, если в первой группе акционерный капитал составляет 610 млн р., во второй - 780,1 млн р., то в третьей - 934,9 млн р., что превосходит акционерный капитал предприятий первой группы более чем в 1,5 раза и акционерный капитал второй группы - в 1,2 раза.

Показатели прибыли также значительно различаются по группам. Так в первой группе прибыль на одно предприятие составляет 5,3 млн р., во второй - 14,7 млн р., в третьей - 19,75 млн р., т.е. в третьей группе прибыль на одно предприятие больше, чем в первой группе в 3,7 раза, а по сравнению со второй - в 1,3 раза.

Сопоставление роста прибыли по группам и роста величины акционерного капитала также свидетельствует о наибольшей эффективности предприятий третьей группы.

Необходимыми предпосылками корректного использования статистических методов анализа является однородность совокупности. Неоднородность совокупности возникает вследствие значительной вариации признака или попадания в совокупность резко выделяющихся, так называемых “аномальных” наблюдений. Для выявления “аномальных” наблюдений используют правило трех сигм, которое состоит в том, что “аномальными” будут те предприятия, у которых значения анализируемого признака будут выходить за пределы интервала:

или ,

гдесреднее значение факторного показателя,

среднее квадратичное отклонение по факторному показателю.

Выделив и исключив аномальные единицы, оценку однородности производят по коэффициенту вариации (V):

V=, который должен быть не более 33,3%. Для выявления «аномальных» наблюдений по первичным данным о величине акционерного капитала рассчитаем его среднюю величину () и среднее квадратичное отклонение (). Смотри табл. 8.

Таблица 8

№ пред- приятия п/п	Акцион. кап., млн р.	(	(	Прибыль, млн р.	(	(	Гр.3 *гр.6
1	2	3	4	5	6	7	8
4 5 8 10 11 12 13 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48	1045 1004 931 924 921 901 880 873 859 821 801 785 795 778 753 717 712 690 677 649 627 605 563 543 526	270 229 156 149 146 126 105 98 84 46 26 10 20 3 -22 -58 -63 -85 -98 -126 -148 -170 -212 -232 -249	72900 52441 24336 22201 21316 15876 11025 9604 7056 2116 676 100 400 9 484 3364 3969 7225 9604 15876 21904 28900 44944 53824 62001	20,8 23,8 18,4 19,4 20,6 15,6 21,3 18,1 18,4 17,2 19,4 14,4 16,2 13,8 13,1 11,2 8,6 5,7 5,7 4,7 4,8 6,7 6,3 3,6 5,0	7,5 10,5 5,1 6,1 7,3 2,3 8,0 4,8 5,1 3,9 6,1 1,1 2,9 0,5 -0,2 -2,1 -4,7 -7,6 -7,6 -8,6 -8,5 -6,6 -7,0 -9,7 -8,3	56,25 110,25 26,01 37,21 53,29 5,29 64,00 23,04 26,01 15,21 37,21 1,21 8,41 0,25 0,04 4,41 22,09 57,76 57,76 73,96 72,25 43,56 49,00 94,09 68,89	2025 2404,5 795,6 908,9 1065,8 289,8 840 470,4 428,4 179,4 158,6 11,0 58,0 1,5 4,4 121,8 296,1 646 744,8 1083,6 1258 1122 1484 2250,4 2066,7
Итого	19380	-	492151	332,8	-	1007,45	20714,7

Определяем средний размер акционерного капитала. Информацию берем из табл. 8.

; 775,2775 млн р.

Среднее квадратическое отклонение

140,3млн р.

Проверяем однородность совокупности по акционерному капиталу.

775- 420

355

Так как минимальное значение акционерного капитала (526 млн р.) больше нижней границы интервала (355 млн р.) а максимальное значение акционерного капитала (1045 млн р.) меньше верхней границы (1195 млн р.) то можно считать, что в данной совокупности аномальных наблюдений нет.

Теперь рассчитаем среднюю прибыль (), среднее квадратическое отклонение по прибыли () и сделаем проверку на «аномальность».

Информацию для расчетов берем из табл. 8.

13,3 млн р.

=6,35 млн р.

Проверка:

13,3 -

(-5,75)32,35

Так как минимальное значение прибыли (3,6 млн р.) больше нижней границы (-5,75), а максимальное значение (23,8) меньше верхней границы (32,35), то можно считать, что в данной совокупности аномальных наблюдений нет.

Проверка однородности совокупности осуществляется по коэффициенту вариации (V)

Так как коэффициент вариации меньше 33,3% ,следовательно, совокупность однородна.

После проверки на однородность строим ряд распределения, для чего необходимо определить число групп и величину интервала.

Используя формулу Стерджесса определим величину интервала (i):

,

где максимальное значение акционерного капитала,

минимальное значение акционерного капитала,

N-число единиц в совокупности.

Ограничимся пятью группами.

=103,8 или 104 млн р.

Произведем группировку в табл. 9.

Таблица 9

Группы предпр. по разм. акцион. капит., млн р.	Число предприятий	Середина интервала		S
526-630	5	578	2890	5	-191	955	36481	182405
630-734	5	682	3410	10	-87	435	7569	37845
734-838	6	786	4716	16	17	102	289	1734
838-942	7	890	6230	23	121	847	14641	102487
942-1046	2	994	1988	25	225	450	50625	101250
Итого:	25	-	19234	-	-	2789	-	425721

Определяем среднюю ( по ряду распределения по средней арифметической взвешенной, для чего находим середину интервала (

млн р.

Определяем моду - это наиболее часто встречающаяся величина

,

гденижняя граница модального интервала,

размер модального интервала,

модальная частота,

частота, предшествующая модальному интервалу,

частота, следующая за модальным интервалом.

855,3 млн р.

Определим медиану

,

гденижняя граница медианного интервала,

размер медианного интервала,

полусумма частот,

сумма частот, накопленных до медианного интервала,

частота медианного интервала

777,3 млн р.

Далее рассчитаем показатели вариации:

1. Размах вариации (R)

R=1045-526=519 млн р.

2. Линейное отклонение (d)-данные берем из табл. 9.

d=111,56 млн р.

3. Дисперсия (

17028,84

4. Среднее квадратическое отклонение ()

130,5 млн р.

5. Коэффициент вариации (V)

V=17%

Коэффициент вариации свидетельствует об однородности совокупности и надежности средней.

Для характеристики дифференциации предприятий по величине акционерного капитала, рассчитаем коэффициент фондовой дифференциации (

,

где -средняя из 10% максимальных значений акционерного капитала,

-средняя из 10 % минимальных значений акционерного капитала

10% от 25 составляет 2,5 предприятия, т.е. можно взять по 3 предприятия (максимальных или минимальных).

1045 1004 931 993

526 543 563 544

1,82

Следовательно, средняя из 10% максимального акционерного капитала почти в 2 раза выше средней из минимальных значений.

Далее производим расчет характеристик генеральной совокупности по выборочным данным.

Для определения характеристик выборочной совокупности воспользуемся результатами предыдущих расчетов. Так, по ряду распределения определили, что средняя величина акционерного капитала составляет 769 млн р., а дисперсия равна 17029 млн р.

Для расчета ошибок выборки следует воспользоваться формулами для бесповторного отбора, т.к. по условию можно определить численность генеральной совокупности (N):

Средняя ошибка выборки для средней величины (

,

где дисперсия выборочной совокупности,

число единиц выборочной совокупности,

N-численность генеральной совокупности

Т.к. n=25, что составляет 5% от численности генеральной совокупности, то N=500 или 0,05, тогда

25,96 млн р.

Предельная ошибка для средней

где t-коэффициент доверия, принимаемый в зависимости от уровня доверительной вероятности 0,954 и числа степеней свободы (К). К=n-1 для малой выборки определяется по таблице Стьюдента.

При вероятности =0,954 и К=24 значения t=2,0639

млн р.

Доверительный интервал

769-53,58769+53,58

715823

С вероятностью 0,954 можно гарантировать, что средняя величина акционерного капитала в расчете на одно предприятие по генеральной совокупности будет находиться в пределах от 715 млн р. до 823 млн р.

Долю предприятий, у которых акционерный капитал превышает среднюю величину (W) для выборочной совокупности определим по первичным данным (табл.5). Число таких предприятий 14, их доля в выборочной совокупности составляет

=0,56 или 56%

Средняя ошибка доли для бесповторного отбора

Предельная ошибка

При вероятности 0,954 t=2 , тогда

Доверительный интервал

0,56-0,2

0,36р0,76

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно гарантировать, что доля предприятий у которых величина акционерного капитала больше среднего значения будет находиться в пределах от 36% до 76%.