- •В. А. Шкель высшая математика Случайные величины
- •Ключевые слова
- •1. Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •2. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •Ключевые слова
- •1. Математическое ожидание случайной величины, мода, медиана
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •2. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение
- •Свойства дисперсии
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •3. Моменты случайных величин
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4. Некоторые законы распределения случайных величин
- •4.1. Формула Бернулли
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.2. Биномиальное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.3. Распределение Пуассона
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.4. Равномерное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.5. Нормальное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.6. Некоторые другие распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •Литература
- •Содержание
- •1. Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины 3
- •2. Функция распределения вероятностей случайной величины 10
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины 16
- •Шкель Всеволод Ануфриевич высшая математика Случайные величины
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
Вопросы для самопроверки
-
Что называют начальным моментом k-го порядка случайной величины?
-
По какой формуле вычисляются начальные моменты k-го порядка случайной величины, принимающей конечное множество значений?
-
Какой формулой определяется начальный момент k-го порядка случайной величины, принимающей счетное множество значений?
-
Какой формулой определяется начальный момент k-го порядка непрерывной случайной величины?
-
Что называется центральным моментом k-го порядка случайной величины?
-
По какой формуле вычисляется центральный момент k-го порядка случайной величины, принимающей конечное множество значений?
-
Какой формулой определяется центральный момент k-го порядка случайной величины, принимающей счетное множество значений?
-
Какой формулой определяется центральный момент k-го порядка непрерывной случайной величины?
-
Чему равны начальные моменты нулевого порядка, первого порядка?
-
Чему равны центральные моменты нулевого, первого, второго порядков?
-
Как выражаются центральные моменты второго порядка через начальные моменты?
-
Как выражаются центральные моменты третьего порядка через начальные моменты?
Упражнения
1. Дискретная случайная величина задана законом распределения
а)
|
Х |
2 3 |
|
б) |
Х |
1 2 3 4 5 |
Р |
0,4 0,6 |
Р |
0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 |
Найти начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков случайной величины.
2. Случайная величина задана плотностью распределения
Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.
3. Случайная величина Х задана плотностью распределения
а) б)
Найти начальные и центральные моменты.
4. Случайная величина задана функцией распределения
а) б)
Найти начальные и центральные моменты первых трех порядков случайной величины.
4. Некоторые законы распределения случайных величин
4.1. Формула Бернулли
Производятся испытания, в каждом из которых может появиться событие А или событие Ā. Если вероятность события А в одном испытании не зависит от появления его в любом другом, то испытания называются независимыми относительно события А. Будем считать, что испытания происходят в одинаковых условиях и вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же. Обозначим эту вероятность через р, а вероятность появления события Ā через .
Вероятность того, что в серии из п независимых испытаний событие А появится ровно k раз (и не появится п-k раз), обозначим через , тогда
– это формула Бернулли. Правая часть ее представляет собой общий член разложения бинома Ньютона
.
Поскольку , то сумма всех биномиальных вероятностей равна единице:
.
Число k0, которому при заданном п соответствует максимальная биномиальная вероятность Pn(k0), называется наивероятнейшим числом появления события А. При заданных п и р это число определяется неравенствами
.
Если число не является целым, то равно целой части этого числа; если же – целое число, то имеет два значения: и .
Вероятность того, что в п опытах схемы Бернулли событие А появится от до раз, равна
.
Вероятность того, что в п опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой
.
Вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит: а) менее k раз, в) более k раз, в) не менее k раз, г) не более k раз, находят соответственно по формулам:
Производится п независимых опытов, каждый из которых имеет попарно несовместных и единственно возможных исходов с вероятностями , одинаковыми во всех опытах .
Для произвольных целых неотрицательных чисел обозначим через вероятность того, что в п опытах исход А1 наступит k1 раз, исход раз, …, исход раз, тогда
.
Эта формула определяет полиноминальное распределение вероятностей. Биномиальное распределение является частным случаем полиноминального распределения при .
Пример 4.1.1. Всхожесть семян равна 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут а) три; б) не менее трех.
Искомые вероятности находим с помощью формулы Бернулли. В первом случае поэтому
.
Во втором случае событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей
.
Поскольку
то Р(А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.
Пример 4.1.2. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 30%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий?
,
отсюда