- •В. А. Шкель высшая математика Случайные величины
- •Ключевые слова
- •1. Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •2. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •Ключевые слова
- •1. Математическое ожидание случайной величины, мода, медиана
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •2. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение
- •Свойства дисперсии
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •3. Моменты случайных величин
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4. Некоторые законы распределения случайных величин
- •4.1. Формула Бернулли
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.2. Биномиальное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.3. Распределение Пуассона
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.4. Равномерное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.5. Нормальное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.6. Некоторые другие распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •Литература
- •Содержание
- •1. Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины 3
- •2. Функция распределения вероятностей случайной величины 10
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины 16
- •Шкель Всеволод Ануфриевич высшая математика Случайные величины
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
Вопросы для самопроверки
-
Как определяется математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей конечное множество значений?
-
Какие другие названия используются для математического ожидания? Чем объясняются эти названия?
-
Что называют математическим ожиданием дискретной случайной величины, принимающей счетное множество значений?
-
Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины, все значения которой принадлежат отрезку ?
-
Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины, все значения которой принадлежат бесконечному промежутку ?
-
Каковы свойства математического ожидания случайной величины?
-
Какому условию должны удовлетворять случайные величины Х и Y, чтобы выполнялось равенство:
?
-
Докажите, что математическое ожидание неотрицательной дискретной случайной величины неотрицательно.
-
Как определяются мода и медиана случайной величины?
Упражнения
1. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей
хi |
3 6 9 12 |
рi |
0,1 0,2 0,3 0,4 |
Найти математическое ожидание случайных величин .
2. Случайная величина задана плотностью распределения:
а)
б)
Найти математическое ожидание.
3. Случайная величина Х задана функцией распределения:
а) б)
Найти математическое ожидание случайной величины Х.
4. Найти математическое ожидание случайной величины: , если известно, что .
5. Известны математические ожидания двух случайных величин . Найти математическое ожидание суммы и разности этих величин.
6. Известны математические ожидания двух независимых случайных величин . Найти математическое ожидание их произведения.
7. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Найти математическое ожидание числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,25.
8. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа не потребуется внимания рабочего для первого станка, равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,75 и для четвертого – 0,7. Найти математическое ожидание числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.
2. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение
Рассмотрим случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Пусть дискретные случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения
Х |
– 0,01 0,01 |
|
Y |
– 100 100 |
Р |
0,5 0,5 |
|
Р |
0,5 0,5 |
Найдем математические ожидания этих величин:
;
.
Итак, математическое ожидание обеих величин одинаково, а возможные значения различны, причем Х имеет значения, близкие к математическому ожиданию, а Y – далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание не характеризует полностью случайную величину. В связи с этим наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.
На первый взгляд, может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины (разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием) и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. , как нетрудно показать, любой случайной величины равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны, в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.
Дисперсией, или рассеянием, случайной величины называют мате-матическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
.
Дисперсия дискретной случайной величины с законом распределения
определяется формулой
или формулой где – другое обозначение для математического обеспечения.
Если дискретная случайная величина принимает бесконечную последовательность значений с законом распределения
,
то ее дисперсия определяется формулой
при условии, что этот ряд сходится.
Дисперсия непрерывной случайной величины Х, все значения которой принадлежат отрезку , определяется формулой
где – плотность распределения вероятностей этой величины, – ее математическое ожидание.
Дисперсия непрерывной случайной величины Х, все значения которой принадлежат промежутку , определяется формулой
если этот несобственный интеграл сходится абсолютно.
Из определения следует, что дисперсия случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.
Пример 2.1. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана законом распределения
Х |
1 2 5 |
Р |
0,3 0,5 0,2 |
Найдем математическое ожидание
.
Значения квадрата отклонения
По определению дисперсии
.
Пример 2.2. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной плотностью распределения
,
.
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой
,
т. е. дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.
Пример 2.3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана законом распределения
Х |
2 3 5 |
Р |
0,1 0,6 0,3 |
.
Искомая дисперсия
.
Казалось бы, если Х и Y имеют одинаковые возможные значения и одно и то же математическое ожидание, то и дисперсии этих величин равны (ведь возможные значения обеих величин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожиданий). Однако в общем случае это не так. Дело в том, что одинаковые возможные значения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря, различные вероятности, а величина дисперсии определяется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями. Например, если вероятности «далеких» от математического ожидания возможных значений Х больше, чем вероятности этих же значений Y, и вероятности «близких» значений Х меньше, чем вероятности тех же значений Y, то, очевидно, дисперсия Х больше дисперсии Y.
Пример 2.4. Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения
Х |
– 1 1 2 3 |
|
Y |
– 1 1 2 3 |
Р |
0,48 0,01 0,09 0,42 |
|
Р |
0,19 0,51 0,25 0,05 |
; .
Возможные значения и математические ожидания Х и Y одинаковы, а дисперсии различны, причем . Этот результат можно было предвидеть без вычислений, глядя лишь на законы распределения.