- •В. А. Шкель высшая математика Случайные величины
- •Ключевые слова
- •1. Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •2. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •Ключевые слова
- •1. Математическое ожидание случайной величины, мода, медиана
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •2. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение
- •Свойства дисперсии
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •3. Моменты случайных величин
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4. Некоторые законы распределения случайных величин
- •4.1. Формула Бернулли
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.2. Биномиальное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.3. Распределение Пуассона
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.4. Равномерное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.5. Нормальное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.6. Некоторые другие распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •Литература
- •Содержание
- •1. Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины 3
- •2. Функция распределения вероятностей случайной величины 10
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины 16
- •Шкель Всеволод Ануфриевич высшая математика Случайные величины
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
Упражнения
1. Случайная величина Х распределена по нормальному закону, причем . Найти , если известно
.
2. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение Х от проектного размера по модулю не превышает 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если случайная величина Х распределена нормально с параметром мм?
3. Станок-автомат изготавливает валики, контролируя их диаметры Х. Считая, что случайная величина Х распределена нормально с параметрами мм, мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут находиться диаметры изготовленных валиков.
4. Найти для случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами а и .
5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия этой величины соответственно равны 7 и 16. Найти вероятность того, что отклонение величины Х от ее мате-матического ожидания по модулю не превзойдет двух.
6. Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание равно 16 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значение случайной величины.
4.6. Некоторые другие распределения
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью вероятностей
где – постоянная положительная величина.
Показательный закон распределения вероятностей встречается во многих задачах, связанных с простейшим потоком событий. Под потоком событий понимают последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты. Например, поток вызовов на телефонной станции, поток заявок в системе массового обслуживания и др.
Функция распределения показательного закона имеет вид
Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х, которая распределена по показательному закону, равна
.
Нетрудно вычислить числовые характеристики показательного распределения:
, , .
Пример 4.6.1. Непрерывная величина Х распределена по показательному закону: при , . Найти вероятность попадания значений величины Х в интервал .
Пример 4.6.2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, плотность распределения которой задана функцией .
.
Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если она принимает значения (счетное множество значений) с вероятностями
.
Определение является корректным, так как сумма вероятностей
.
Случайная величина Х, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний Бернулли до первого успеха.
Математическое ожидание и дисперсия Х:
Пример 4.6.3. В большой партии изделий вероятность брака равна р. Контроль качества проводится до первого появления бракованного изделия. Обнаружилось, что бракованное изделие впервые появилось в среднем при десятом испытании. Оценить вероятность р.
Пусть Х – число испытаний до первого появления бракованного изделия. Эта случайная величина имеет геометрическое распределение. По условию ее среднее значение равно Так как то .
Дискретная случайная величина имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения т с вероятностями
,
где
Вероятность является вероятностью выбора m объектов, обладающих заданным свойством, из множества п объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности N объектов, среди которых М объектов обладают заданным свойством.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами п, М, N:
Пример 4.6.4. Среди продукции цеха электронных плат 10 из партии в 100 штук не удовлетворяют стандарту. При приемке продукции проверяются 10 плат. Какое среднее количество нестандартных плат обнаружат?
Количество нестандартных плат имеет гипергеометрическое распределение, так как
то