Вопросы для самопроверки

Какими должны быть испытания, чтобы можно было применять формулу Бернулли?
Какой вид имеет формула Бернулли?
Что называют наивероятнейшим числом появления события в п независимых испытаниях? Как находится это число?
Какой вид имеет формула, определяющая вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А появится от k₁ до k₂ раз
Как найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А появится хотя бы один раз?
Как вычислить вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз?

Упражнения

1. Подбрасываются 5 симметричных монет. Найти вероятность того, что: а) выпало ровно 2 герба; б) выпало более одного герба.

2. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки в станках не зависят друг от друга, найти вероятность того, что в течение часа внимание рабочего потребуется для какого-либо станка из четырех, обслуживаемых им.

3. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми машин, а имеется десять. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы на ближайший день.

4. Всхожесть семян составляет в среднем 80%. Найти наивероятнейшее число всхожих среди девяти семян.

5. Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы один раз.

6. Сколько раз надо подбросить игральный кубик, чтобы наивероятнейшее число выпадений двойки было равно 32?

7. Какова вероятность наступления события А в каждом испытании, если наивероятнейшее число наступлений события А в 120 испытаниях равно 32?

8. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случаев. Какова вероятность того, что из 5 больных поправятся не менее 4?

9. Вероятность рождения мальчиков равна 0,515. Найти наивероятнейшее число девочек из 600 новорожденных.

4.2. Биномиальное распределение

Пусть в одинаковых условиях производится п независимых испытаний, в результате каждого из которых может появиться событие А с вероятностью р. В каждой серии из п испытаний событие А может либо не появиться, либо появиться 1 раз, 2 раза, …, п раз. Рассмотрим дискретную случайную величину Х – число появлений события А при п испытаниях. Величина Х может принимать значение . Вероятность того, что случайная величина Х принимает значение , вычисляется по формуле Бернулли.

Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый формулой Бернулли, называется биномиальным. Постоянные п и р, входящие в формулу Бернулли, называются параметрами биномиального распределения.

Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде следующей таблицы:

Х	0	1	… k	… n
Р	qⁿ

Можно показать, что для случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, математическое ожидание равно произведению параметров дисперсия равна произведению npq, .

Пример 4.2.1. Проверкой качества установлено, что из каждых 100 деталей не имеют дефектов 75 штук в среднем. Составить биномиальное распределение вероятностей числа пригодных деталей из взятых наугад 6 деталей.

Из условия задачи следует, что .