- •IX. Релятивистская механика
- •1. Кинематика
- •Решение задач
- •2. Динамика
- •Решение задач
- •X. Механические колебания
- •1. Кинематика незатухающих колебаний
- •Решение задач
- •2. Энергия незатухающих колебаний (на примере пружинного маятника)
- •3. Динамика незатухающих колебаний материальной точки
- •Решение задач
- •4. Динамика незатухающих колебаний твёрдого тела.
- •Решение задач
- •5. Затухающие колебания.
- •Решение задач
- •6. Вынужденные колебания.
- •Решение задач
6. Вынужденные колебания.
Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы . Динамическое уравнение, характеризующее вынужденные колебания имеет вид:
или
,
где , и .
Решение этого неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (когда правая часть равна нулю) и частного решения неоднородного:
,
где первое слагаемое является решением уравнения для собственных затухающих колебаний, второе - частное решение неоднородного уравнения.
Если колебания затухающие, то с течением времени первое слагаемое будет стремиться к нулю, поэтому в дальнейшем колебания будут происходить с частотой вынужденной силы, но отстающей по фазе от последней на
.
При некотором соотношении между собственной частотой и частотой вынуждающей силы, амплитуда колебаний достигает максимума – это явление называется резонансом смещения.
Решение задач
10.17*. Найти разность фаз между смещением и вынуждающей силой при резонансе смещения, если собственная частота колебаний и коэффициент затухания .
Решение. Динамическое уравнение, характеризующее вынужденные колебания имеет вид:
, (1)
частным решением которого является
.
Законы изменения скорости и ускорения тела найдем, последовательным дифференцировав по времени уравнения (1)
,
.
Сумма слагаемых , и согласно уравнению (1) должна быть равна . Учитывая фазовые сдвиги между , и , представим уравнение (1) с помощью векторной диаграммы (рис. 79 для случая ). Из рисунка видно, что
,
откуда
.
Из диаграммы видно, что отставание смещения по фазе на от вынуждающей силы определяется как
.
При резонансе , поэтому
10.18*. Шарик массы m может совершать незатухающие колебания около точки x = 0 с собственной частотой . В момент t = 0, когда шарик находился в положении равновесия, к нему приложили вынуждающую силу , совпадающую по направлению с осью X. Найти закон вынужденных колебаний шарика x(t).
Решение. Общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний при
.
Поскольку смещение шарика из положения равновесия вызвано только вынуждающей силой, то согласно результату задачи 10.17
.
Направление вынуждающей силы совпадает с направлением оси X , поэтому, как видно из диаграммы к задаче 10.17, . Также из той диаграммы следует, что смещение, вызванное квазиупругой силой и вынуждающей силой отличаются по фазе на
.
Поэтому
.
10.19*. Под действием вынуждающей силы осциллятор совершает установившиеся колебания по закону . Найти работу вынуждающей силы за период.
Решение. При установившихся колебаниях работа вынуждающей силы за период T равна работе силы сопротивления с обратным знаком:
.
По определению
,
где r - коэффициент сопротивления, - сила сопротивления, - скорость. По условию , поэтому
,
откуда
.
Учитывая, что и , получим работу силы сопротивления
,
.