5. Затухающие колебания.
Уравнение движения затухающих колебаний имеет вид
,
где
- квазиупругая сила,
- сила сопротивления, пропорциональная
скорости
,
r
- коэффициент сопротивления (величина
размерная).
После
введения новых параметров
- коэффициент затухания,
- квадрат собственной частоты, уравнение
движения примет вид
.
Решение
этого дифференциального уравнения
движения, при условии
,
имеет вид
,
где
и
- постоянные, определяемые начальными
условиями
и
,
- частота затухающих колебаний:
.
Решение задач
10.12*.
Точка совершает затухающие колебания
с частотой
.
Найти коэффициент затухания
,
если в начальный момент скорость точки
равна нулю, а её смещение из положения
равновесия в
раз меньше амплитуды.
Решение. Точка совершает затухающие колебания по закону
.
В
начальный момент времени t = 0
смещение точки из положения равновесия
в
раз меньше амплитуды, поэтому
.
Откуда
.
Закон изменения скорости найдем, продифференцировав по времени исходное уравнение
.
По
условию при t = 0
,
поэтому
,
.
Воспользовавшись
основным тригонометрическим тождеством
,
получим
,
откуда
.
10.13.
Затухающие колебания точки происходят
по закону
.
Найти амплитуду смещения и скорость
точки в момент t = 0.
Решение. Амплитуда колебаний равна величине смещения при значениях синуса или косинуса, равных единице:
.
Откуда амплитуда смещения в момент t = 0 равна
.
Найдем закон изменения скорости, продифференцировав по времени исходное уравнение
.
При t = 0 скорость точки равна
.
В теории затухающих колебаний вводится ещё один параметр, характеризующий процесс затухания, логарифмический декремент затухания
,
где a(t) и a(t+T) - амплитуды смещения в моменты времени t и спустя период (t+T). Поэтому
.
10.14*.
К невесомой пружине подвесили грузик,
и она растянулась на
.
С каким периодом будет колебаться
грузик, если ему дать небольшой толчок
в вертикальном направлении. Логарифмический
декремент затухания
.
Решение. Грузик совершает затухающие колебания по закону
.
По
определению
,
поэтому
.
Период колебаний равен
,
где
- собственная частота колебаний грузика.
Проведя подстановку, получим
,
,
,
.
В положении равновесия (до толчка):
,
откуда
.
Искомый период колебаний груза равен
.
Ещё одной характеристикой затухания является добротность колебательной системы (осциллятора) Q, которая по определению равна
,
где Ne - число колебаний за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
10.15.
Найти добротность осциллятора, у которого
амплитуда смещения уменьшается в
раз каждые n
периодов колебаний.
Решение. По определению добротность осциллятора равна
.
Логарифмический
декремент затухания по определению
равен
,
поэтому для n
периодов
.
После подстановки в исходное уравнении, получим
.
10.16*.
Найти добротность математического
маятника длины l,
если за время
его полная механическая энергия
уменьшилась в
раз.
Решение. Энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды:
.
Его
добротность равна
,
где
(логарифмический декремент)
.
Так как
период математического маятника можно
считать равным
.
Поэтому
.
По
условию за время
полная механическая энергия маятника
уменьшилась в
раз
,
,
,
.
После подстановки получим добротность математического маятника
.