- •IX. Релятивистская механика
- •1. Кинематика
- •Решение задач
- •2. Динамика
- •Решение задач
- •X. Механические колебания
- •1. Кинематика незатухающих колебаний
- •Решение задач
- •2. Энергия незатухающих колебаний (на примере пружинного маятника)
- •3. Динамика незатухающих колебаний материальной точки
- •Решение задач
- •4. Динамика незатухающих колебаний твёрдого тела.
- •Решение задач
- •5. Затухающие колебания.
- •Решение задач
- •6. Вынужденные колебания.
- •Решение задач
X. Механические колебания
1. Кинематика незатухающих колебаний
Уравнение, описывающее положение точки, совершающей гармонические колебания, имеет следующий вид:
,
где x - смещение точки из положения равновесия в момент t (в зависимости от характера движения это может быть либо линейная, либо угловая координата); A - амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение точки из положения равновесия; - фаза колебаний; - начальная фаза, которая характеризует положение точки в момент t = 0 (начало наблюдения); - круговая частота колебаний. Эта частота связана с периодом колебаний T соотношением .
Приведённое выше уравнение является решением дифференциального уравнения
,
которое будет обсуждаться ниже.
Решение задач
10.1. Точка совершает колебания вдоль оси X по закону . Найти зависимость от времени скорости и ускорения . Как связаны амплитуды скорости и ускорения с амплитудой смещения A.
Решение. Закон движения точки в общем виде известен
.
Законы изменения скорости и ускорения со временем найдем последовательным дифференцированием по времени исходного уравнения
, откуда ;
или , откуда .
10.2. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси X около положения равновесия x = 0. В некоторый момент времени координата частицы x0, а скорость . Найти координату x и скорость частицы через время t после этого момента.
Решение. Частица совершает гармонические колебания по закону
,
тогда
.
Пусть в начальный момент времени t = 0 координата частицы x0, а ее скорость . Тогда
и ,
,
.
Откуда начальная фаза равна
.
В начальный момент времени (t = 0)
, поэтому ;
, поэтому .
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством , запишем
.
Откуда амплитуда равна
.
Подставив найденные значения амплитуды и начальной фазы в исходные уравнения, получим
,
.
10.3. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом T и амплитудой A. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь A/2:
а) из крайнего положения;
б) из положения равновесия.
Решение. а) По определению средней скорости , где S - путь, пройденный за время t. В данном случае
,
где t1 - время движения точки из крайнего положения, где смещение из положения равновесия равно A, до положения, где это смещение равно A/2. Пусть в момент времени t = 0 смещение максимально (крайнее положение). Это возможно, если смещение зависит от времени по закону , тогда:
,
,
поэтому
, а .
Подставив полученное значение в исходное уравнение, найдем среднюю скорость
.
б) В данном случае за t = 0 принимаем момент, когда точка проходит положение равновесия (x = 0), тогда и, следовательно
,
,
откуда
, а .
а искомая средняя скорость равна
.
Если тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, то решение многих задач упрощается, если сложение колебаний производить графически методом векторных диаграмм. Пусть точка совершает колебания по закону . Графически это колебание представляется как вектор длиной A, который равномерно вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью от начального углового положения (рис.70). В этом случае угол с осью X меняется по закону , а проекция вектора на ось X и будет равна координате .
10.4. Найти графически амплитуду A колебаний, которые возникают при сложении двух колебаний одного направления:
,
.
Решение. Оба вектора будут вращаться с одинаковой угловой скоростью . Следовательно, угол между векторами остается постоянным в любой момент времени. Воспользовавшись формулами приведения, представим второе колебание в виде:
.
Уравнение гармонического колебания имеет вид
.
Из сравнения уравнений колебаний с уравнением гармонического колебания, найдем начальные фазы первого и второго колебаний
и .
Теперь построим векторную диаграмму (рис.71). Согласно теореме косинусов получим
.
Из рисунка видно, что , тогда искомая амплитуда равна
,
.