1. Глава 2.1 Зображення чисел

   1. 2.2. Позиційні системи числення

Людина звикла до десяткової системи запису чисел (системи числення). Ця система поступово вдосконалювалася протягом тисячоліть, починаючи з давніх Вавилону та Індії. У середньовіччя вона стала відома арабам і завдяки їм прийшла в Європу.

У десятковій системі є десять знаків — цифр, якими записують числа від 0 до 9. Більші числа записують тими самими знаками, але не одним, а двома й більше, тобто число записують як послідовність знаків. У цій послідовності знаки мають різні позиції; цифра праворуч позначає кількість одиниць, наступна — кількість десятків тощо. Отже, одна й та сама цифра залежно від позиції має «різну вагу». Наприклад, у записі 32 цифра 2 задає дві одиниці, а у записі 23 — два десятки. Цю систему запису чисел називають позиційною.

Історія людства залишила у спадок не лише десяткову систему запису чисел. У деяких країнах люди й дотепер підраховують предмети дюжинами (12 предметів) та гросами (12 дюжин). Для запису чисел у такій системі потрібні 12 різних знаків. Деякі народи використовували 60 різних знаків, деякі — п’ять.

• Усі вказані системи мають різні кількості знаків (10, 12, 60, 5), які називаються основами.

Окрім позиційних систем, відомі й непозиційні. Деяке уживання й дотепер має римська система числення, що виникла в Давньому Римі. У цій системі запис наступного числа утворюється не новою цифрою, а додаванням цифри: І, ІІ, ІІІ, тому її називають адитивною. Правила утворення запису чисел набагато складніше ніж у позиційних системах, і розглядати їх не будемо. Особливо незручно в римській системі виконувати арифметичні операції, і недарма вона не стала «робочою» для людства.

Повернемося до позиційної десяткової системи. Цифру праворуч у записі числа називають молодшою («її записано в молодшому розряді»), ліворуч — старшою. Розряд одиниць називають нульовим, розряд десятків — першим, сотень — другим тощо. За такої нумерації вага розряду відповідає степеню числа 10: одиниця — це , десяток — це , сотня — це тощо.

Отже, розташування цифри в тому чи іншому розряді є прямою вказівкою, на який степінь 10 треба помножити цифру. Звідси число можна записати як суму добутків цифр числа на відповідні степені десятки. Наприклад,

.

Якщо запис числа має дробову частину, то додаються цифри, ділені на 10 у відповідному степені, наприклад,

Приклад. Розглянемо позиційну систему числення з основою 8, відмінною від 10. Аналогічно десятковій, ця система має такі властивості:

• для запису чисел є вісім цифр— 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;

• значення цифри залежить від її розташування (позиції) в записі;

• вага кожного розряду числа є відповідним степенем вісімки.

Отже, перші числа записуються як 0, 1, …, 6, 7, а далі йдуть записи 10, 11, …, 17, 20, 21, …, 77, 100, …. Вісімкове 10 — це звичне десяткове 8 (але ж немає такого знаку у вісімковій системі!), вісімкове 11 — це звичне 9, 20 — звичне десяткове 16, тобто двічі по 8, тощо. А вісімкові 100 та 200 — це десяткові 64 та 128, тобто один та два рази по 8 у квадраті. Ще записи чисел (про вісімковий запис свідчить маленька цифра 8 внизу):

,

,

,

. 

Представлений спосіб запису використовується у позиційних системах числення з будь-якою основою (більше 1). Питання в тому, які знаки є цифрами. Якщо основа не більше десяти, використовують звичні десяткові цифри (беруть стільки знаків, скільки треба). Проте для системи з основою більше десяти потрібні додаткові знаки, щоб позначати десяткові числа 10, 11, …. У XX столітті для цього стали використовувати послідовні великі літери латинського алфавіту — A, B, C тощо.

Приклади. У двійковій системі числення лише дві цифри — 0 та 1. Двійковий запис 1101 позначає число , запис 0,101 — число .

У шістнадцятковій системі числа від 10 до 15 позначають так: 10 — A, 11 — B, 12 — С, 13 — D, 14 — E, 15 — F. Тоді 2A, FF, 0,C. 

Запис з P-ковими цифрами задає число . Цифри x у цій сумі позначають числа від 0 до P–1.