- •Часть I. Аналитическая геометрия глава 1. Элементы векторной алгебры
- •§ 1. Векторы и линейные операции над ними
- •Понятие вектора
- •Сложение векторов
- •Свойства операции сложения
- •Умножение вектора на число
- •Свойства операции умножения вектора на число
- •Критерии коллинеарности и компланарности
- •§ 2. Аффинная система координат
- •Свойства координат векторов
- •Ориентация тройки векторов
- •Свойства ориентации
- •§ 3. Проекции
- •§ 4. Преобразования систем координат на плоскости
- •§ 5. Скалярное произведение
- •Свойства скалярного произведения
- •Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе
- •§6. Векторное произведение Определение векторного произведения.
- •Свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе
- •§7.Смешанное произведение
- •Свойства смешанного произведения
- •§ 8. Двойное векторное произведение
§7.Смешанное произведение
Определение. Смешанным произведением векторов , взятых в указанном порядке, называется число .
Свойства смешанного произведения
1. Критерий компланарности. Для того чтобы три вектора были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.
►Необходимость. Дано: -компланарны. Тогда
{существует плоскость P, что .
Достаточность. Дано: . Рассмотрим два случая:
а);
б)
плоскость
плоскость .◄
2. Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение некомпланарных векторов численно равно объёму V параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки, взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая и минус, если левая.
(1)
► Заметим, что на рис. 1.23 тройка - левая◄
3 . .
►На основании коммутативности скалярного произведения, достаточно доказать равенство . Если векторы компланарны, то утверждение истинно согласно первому свойству. Если же они некомпланарны, то
(2)
Так как ориентации троек и совпадают, то из (1) и (2) вытекает доказываемое утверждение. ◄
На основании этого свойства мы делаем вывод, что не имеет значения, в каком месте ставить «крестик», а в каком «точку». Поэтому в смешанном произведении эти знаки не ставятся вообще, и оно обозначается так: .
4. : .
►Первые три смешанных произведения равны вследствие того, что тройки одинаково ориентированы, а в последней тройке ориентация меняется, поэтому смешанное произведение меняет знак. ◄
5. , , .
►Докажем, к примеру, второе равенство:
.◄
6. .
Доказывается так же, как и предыдущее.
Выражение смешанного произведения через координаты
перемножаемых векторов в ортонормированном базисе
Пусть заданы три вектора своими координатами в ортонормированном базисе: . Тогда
;
.
Доказательство третьего и четвертого свойств векторного
произведения
Докажем равенство:
. (3)
►Выберем произвольный вектор . Тогда
. (4)
Так как (4) справедливо для любого вектора , то, на основании свойств скалярного произведения, из (4) вытекает (3).
Остальные равенства доказываются аналогично.◄
§ 8. Двойное векторное произведение
Определение. Двойным векторным произведением называется произведение или .
Теорема. Для любых векторов справедливы равенства:
, (1)
.
►Докажем, например, (1). Пусть заданы три произвольных вектора . Построим правый ортонормированный базис следующим образом: в качестве вектора возьмём единичный вектор, коллинеарный , вектор выберем перпендикулярным вектору и так, чтобы были компланарными, и положим . В этом базисе . Тогда ;
; (2)
. (3)
Сравнивая (2) и (3), получаем (1).
Ещё раз подчеркнём, что исходные векторы выбираются произвольным образом, а ортонормированный базис уже подбирается для них. ◄