- •Часть I. Аналитическая геометрия глава 1. Элементы векторной алгебры
- •§ 1. Векторы и линейные операции над ними
- •Понятие вектора
- •Сложение векторов
- •Свойства операции сложения
- •Умножение вектора на число
- •Свойства операции умножения вектора на число
- •Критерии коллинеарности и компланарности
- •§ 2. Аффинная система координат
- •Свойства координат векторов
- •Ориентация тройки векторов
- •Свойства ориентации
- •§ 3. Проекции
- •§ 4. Преобразования систем координат на плоскости
- •§ 5. Скалярное произведение
- •Свойства скалярного произведения
- •Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе
- •§6. Векторное произведение Определение векторного произведения.
- •Свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе
- •§7.Смешанное произведение
- •Свойства смешанного произведения
- •§ 8. Двойное векторное произведение
§ 5. Скалярное произведение
Определение. Скалярным произведением векторов и называется число .
Свойства скалярного произведения
-
.
►Если , то равенство очевидно. Если же , то оно вытекает из определения скалярного произведения и свойств пропорций: .◄
-
.
-
.
Эти два свойства очевидным образом вытекают из определения.
-
.
►Если , то равенство очевидно. Если же , то .◄
Доказывается так же, как и четвертое свойство.
-
.
►◄
-
.
►Положим . Тогда .◄
-
.
►.◄
Из 4-го и 5-го свойств скалярного произведения также вытекает, что линейные комбинации векторов можно перемножать скалярно по правилу умножения многочленов, т.е. так, как вы в школе обычно раскрывали скобки. Например, .
Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе
Сначала заметим, что, , а в силу ортонормированности базиса. Пусть теперь заданы два вектора и своими координатами в базисе . Тогда
. .
Таким образом, в ортонормированном базисе скалярное произведение вычисляется как сумма произведении соответствующих координат перемножаемых векторов. Из этой же формулы при получаем: , т.е. в ортонормированном базисе длина вектора равна
вычисление в ортонормированном базисе корню квадратному из суммы квадратов его координат.
§6. Векторное произведение Определение векторного произведения.
В екторным произведением векторов и , взятых в указанном порядке, называется вектор, который обозначается и удовлетворяет следующим условиям:
1. .
2. .
3. Ориентация тройки векторов совпадает с ориентацией выбранного базиса.
Так как мы договорились рассматривать правые базисы, то в нашем случае – правая тройка (рис. 1.22).
Свойства векторного произведения
1. (критерий коллинеарности).
►.◄
2. – антикоммутативность.
►а) .
б) . Кроме того, если , то существует плоскость P такая, что , поэтому , а значит, и . Итак, . Остаётся убедиться в сонаправленности этих векторов.
{-правая} левая} правая}
.
Таким образом, длины и направления векторов и совпадают, значит .◄
3. , .
4.
Эти два свойства мы докажем в § 7.
5. Линейные комбинации векторов векторно умножаются по правилу умножения многочленов. При этом не следует забывать, что сомножитель из первой скобки обязательно должен быть на первом месте.
Это свойство является следствием 3-го и 4-го.
Пример. ▼
.▲
6. Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки.
7. Физический смысл векторного произведения. Моментом силы , приложенной к точке А, относительно точки О является вектор .
Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе
|
|||
Пусть теперь заданы два вектора и своими координатами в базисе . Тогда
. (1)
Для облегчения запоминания этой формулы введем понятие определителя второго и третьего порядка (подробно теория определителей будет изучаться в линейной алгебре).
Определитель второго порядка записывается в виде таблицы, ограниченной вертикальной чертой с обеих сторон, и вычисляется следующим образом:
Здесь первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца.
Определитель третьего порядка вычисляется так:
.
Теперь из (1) получаем:
.
Это и есть та формула, которую вы должны запомнить.