- •Часть I. Аналитическая геометрия глава 1. Элементы векторной алгебры
- •§ 1. Векторы и линейные операции над ними
- •Понятие вектора
- •Сложение векторов
- •Свойства операции сложения
- •Умножение вектора на число
- •Свойства операции умножения вектора на число
- •Критерии коллинеарности и компланарности
- •§ 2. Аффинная система координат
- •Свойства координат векторов
- •Ориентация тройки векторов
- •Свойства ориентации
- •§ 3. Проекции
- •§ 4. Преобразования систем координат на плоскости
- •§ 5. Скалярное произведение
- •Свойства скалярного произведения
- •Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе
- •§6. Векторное произведение Определение векторного произведения.
- •Свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе
- •§7.Смешанное произведение
- •Свойства смешанного произведения
- •§ 8. Двойное векторное произведение
Умножение вектора на число
Определение. Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
-
;
-
, .
Следствия. 1. . ► .◄
2. .► .◄
3. .► ◄
► ◄
Свойства операции умножения вектора на число
-
: ;
-
: ;
-
: ;
-
: ;
-
: .
Первое из приведенных свойств, очевидно, выполняется, докажем остальные.
2. ►,, значит, векторы и противоположны.◄
3. ► Если одно из чисел или равно нулю, либо вектор – нулевой, то равенство верно. В любом случае длины векторов в левой и правой частях совпадают, так как и . Остается доказать совпадение их направлений. Если и , рассмотрим несколько случаев.
а) . Тогда ; . Таким образом, векторы в левой и правой частях равенства сонаправлены одному и тому же ненулевому вектору, поэтому они также сонаправлены.
б) . Тогда ; , и опять векторы сонаправлены.
в) . Тогда ; . Векторы в левой и правой частях равенства противонаправлены одному и тому же ненулевому вектору, поэтому они сонаправлены.
г) . Случай, аналогичный предыдущему.◄
4 . ►При или равенство, очевидно, выполняется. Рассмотрим остальные случаи.
а) , , векторы и неколлинеарны. От произвольной точки отложим векторы и , а от точки – вектор . Проведем прямую через точки и , а через точку – прямую, параллельную . Точку пересечения построенных прямых обозначим (рис.1.6). Из подобия треугольников и вытекает: , , значит ; , , значит . Тогда . С другой стороны, , откуда и вытекает доказываемое равенство.
б ) , , векторы и коллинеарны. От произвольной точки отложим векторы , от точки – вектор . Выберем произвольную точку , проведем через нее прямые , , и на прямой отложим отрезок (рис. 1.7). Через точку проведем прямую, параллельную , и обозначим точки ее пересечения с прямыми и соответственно и . Из подобия треугольников и вытекает, что , , значит, . Аналогично из подобия треугольников и получаем, что , а из подобия треугольников и – что . С другой стороны, , откуда и вытекает доказываемое равенство.
в) . Вектор противоположен вектору . Но вектор также противоположен , так как , поэтому .
г) . Тогда
◄
5. ►а) . Равенство, очевидно, выполняется.
б ) . Тогда . Но и , поэтому , значит . Остается доказать равенство длин. На рисунке 1.8. . По рисунку видно, что
.
С другой стороны, .
в ) . Тогда , . На рисунке 1.9. . По рисунку видно, что . Кроме того
.
С другой стороны, , поэтому и .
Аналогично равенство доказывается в случае, когда .◄
Критерии коллинеарности и компланарности
Теорема 1 (критерий коллинеарности). Для того чтобы векторы и были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде произведения другого вектора на число, т.е., чтобы существовало число такое, что , или существовало бы число такое, что . При этом, если один из векторов ненулевой, то второй можно через него выразить.
►Достаточность. Дано: . Тогда согласно определению произведения вектора на число.
Необходимость. Дано: . Рассмотрим два случая:
-
Один из векторов нулевой, например, . Тогда , т.е. .
-
Оба вектора ненулевые. Положим
.
Тогда . Кроме того,
(рис. 1.10); (рис. 1.11).
Рис. 1.10 Рис.1. 11
Таким образом, векторы и имеют одинаковые длину и направление, значит, они совпадают.
Теорема 2 (критерий компланарности). Для того чтобы три вектора были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде линейной комбинации двух других. При этом если два из векторов неколлинеарные, то третий можно через них выразить.
► Достаточность. Дано: один из векторов можно представить в виде линейной комбинации двух других, например . Возможны два случая.
а) - компланарны}.Error: Reference source not found
б) Векторы и неколлинеарные. Доказательство вытекает из того, что треугольник – плоская фигура (см. рис. 1.12).
Необходимость. Дано: - компланарны.
а) ;
б) и - неколлинеарные. Отложим все три вектора от одной точки О (см. рис 1.13) и проведем Тогда:
, Error: Reference source not found (1)
, (2)
, (3)
Из (1), (2), (3) вытекает, что .◄