§2. Функция.

2.1. Понятие функции. Способы задания функции.

Определение. Функцией у=f(x) называется соответствие, при котором каждому элементу х множества Х (хÎХ) ставится в соответствие один и только один элемент у множества У (уÎУ). Говорят еще, что функция f отображает множество Х на множество У:

f : XY.

Например, соответствие f (рис. 6) является функцией, а g (рис. 7) и j (рис. 8) − нет. В первом случае, всякому элементу хÎХ соответствует элемент у Î У. Во втором случае не каждому хÎХ соответствует элемент уÎУ, а в третьем не соблюдается условие однозначности.

Множество Х называется областью определения функции (или существования) и обозначается Df. Множество всех уÎУ называется областью значений функции, обозначается Еf.

Пусть задана функция f: XY.

Если элементами множеств Х и У являются действительные числа (т.е. ХÌR и YÌR), то функцию f называют числовой функцией. При этом х называется независимой переменной или аргументом; у – зависимой переменной или значением функции; f − обозначает закон соответствия.

Если множество Х специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, т.е. множество таких значений х, при которых функция у=f(х) вообще имеет смысл.

Например, область определения функции у= есть полуинтервал (; 10], т.к. 10−х³0, если же переменная х обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии х³0 областью определения функции будет отрезок [0; 10].

Графиком функции у=f(х) называется совокупность всех точек плоскости Оху, абсциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты – соответствующими значениями функции у=f(x).

Способы задания функции.

Чтобы задать функцию у=f(х), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Существует несколько способов задания функции:

1. Аналитический способ, при котором функция задается формулой вида у=f(x). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Например, у=5х+7; у=х+7ln х − 2 и т.п.

2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции f(x). Например, таблица логарифмов.

3. Графический способ состоит в том, что зависимость между переменными х и у задается в виде некоторой линии (графика) на плоскости Оху.

Преимущество этого способа задания функции состоит в наглядности, недостаток – неточность.

4. Словесный способ, при котором функция описывается правилом ее составления. При этом область определения Df должна быть ясна из описания.

Например, функция Дирихле: f(x)=.

Одну и ту же функцию можно задать различными способами. Например, тригонометрическую функцию у=sinx часто задают в виде графика (синусоида) и виде таблицы. Аналогично, и в виде графика и в виде таблицы задают логарифмическую функцию y=lgх.

Если дана функция у=f(x), то для обозначения частного значения функции при некотором значении аргумента х=а применяются символы у(а) и f(а).

Пример. Вычислить частное значение функции при х=3, т.е. найти f(3).

Решение

Чтобы найти частное значение функции при данном значении аргумента, надо в аналитическое выражение функции подставить вместо аргумента его частное значение. Имеем: .