- •Н. Б. Левченко сопротивление материалов
- •Часть 3
- •Сопротивление материалов
- •Часть 3
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •5. Сложное сопротивление
- •Основные понятия и формулы
- •5.1. Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу
- •5.2. Внецентренное растяжение-сжатие стержней большой жесткости
- •5.2.2. Определение грузоподъемности жесткого стержня моносимметричного сечения при внецентренном растяжении-сжатии (задача № 29)
- •5.2.3. Определение грузоподъемности внецентренно сжатых жестких стержней несимметричных сечений (задачи № 30, 31)
- •5.3. Общий случай сложного сопротивления Основные определения
- •5.3.2. Расчет коленчатого вала на изгиб с кручением (задача № 33)
- •Основные определения
- •Пример расчета коленчатого вала
- •6. Устойчивость
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •6.1. Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)
- •6.2. Подбор сечения центрально-сжатого стержня (задача № 35)
- •6.3. Расчет гибкого сжато-изогнутого стержня (задача № 36)
- •7. Расчет на динамическую нагрузку
- •7.1. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы (задача № 37)
- •Основные определения
- •Пример расчета системы с одной степенью свободы Условие задачи21
- •Решение
- •7.2. Расчет рамы (балки) на ударную нагрузку (задача № 38) Основные определения
- •Условие задачи
- •Решение
- •Список литературы
- •Содержание
- •Сопротивление материалов
- •Часть 3
5.3. Общий случай сложного сопротивления Основные определения
В общем случае сложного сопротивления в стержне возникают все шесть видов внутренних усилий одновременно. Эти шесть усилий определяем, как обычно, методом сечений и строим эпюры усилий. При определении внутренних усилий используем правила знаков, описанные во вступительной части разд. 5 и поясняемые рис. 5.1. После определения внутренних усилий находим опасные сечения, а в опасных сечениях – опасные точки. Рассмотрим подробно, где расположены опасные точки в двух наиболее часто используемых сечениях: круглом и прямоугольном10. Выпишем формулы, необходимые для проверки прочности в этих точках.
Рис. 5.25. Изображение
пар сил Мy
и Мz
в виде
векторов
-
для хрупких материалов – теория Мора
(5.30)
где ;
Рис. 5.26. Эпюры
распределения
напряжений в
стержне круглого сечения
-
для пластичных материалов – третья теория прочности
. (5.31)
В формулах (5.30), (5.31) и – напряжения в опасных точках.
В точках 1, 1 круглого сечения эти напряжения определяются так:
; (5.32)
; (5.33)
; (5.34)
, (5.35)
где ; ; ; . Поясним выбор знака в формуле (5.32). В рассматриваемой задаче в точке 1 складываются растягивающие напряжения от изгиба и продольной силы, в точке 1’ от растягивающих напряжений, вызанных N, вычитаются сжимающие напряжения от Ми.
При подборе сечения обычно пренебрегают влиянием продольной силы. В этом случае условия прочности (5.30) и (5.31) для круглого сечения с учетом формул (5.34) и (5.35) можно преобразовать. Теория Мора приобретает такой вид:
, (5.36)
а третья теория прочности приводится к следующему условию:
, (5.37)
где . Из условий прочности (5.36), (5.37) можно найти необходимый момент сопротивления, а далее радиус поперечного сечения. Чтобы учесть продольную силу, немного увеличивают полученное значение радиуса (как правило, достаточно округления в большую сторону), находят напряжения по формулам (5.33)–(5.35) и проверяют прочность с учетом по условиям (5.30) или (5.31).
Рис. 5.27. Эпюры
распределения напряжений
в стержне
прямоугольного сечения
-
точки 1, 1 с максимальными нормальными напряжениями (для хрупких материалов важна не только величина напряжения, но и его знак). Напряжения в них
; (5.38)
Согласно рис. 5.27 в точке 1 складываются растягивающие напряжения от всех усилий (Мy, Mz и N). В точке 1 от сжимающих напряжений, вызванных изгибающими моментами, вычитаются растягивающие напряжения от продольной силы.
-
точки 2, 2 – в них действуют нормальные напряжения от , максимальные нормальные напряжения от и максимальные касательные напряжения, вызванные крутящим моментом и поперечной силой :
, (5.39)
; (5.40)
-
точки 3, 3 с нормальными напряжениями от , максимальными нормальными напряжениями от и, кроме того, в этих точках действуют касательные напряжения от кручения и максимальные касательные напряжения, вызванные поперечной силой :
, (5.41)
. (5.42)
В зависимости от величин и знаков внутренних усилий необходимо выбрать самые опасные точки и проверить в них прочность. Знаки "плюс" или "минус" в формулах (5.38)–(5.42) выбираются в зависимости от направления напряжений в рассматриваемой точке. При этом в точках 2, 2 или 3, 3 хотя бы для одного напряжения ( или ) направления должны совпадать.
В точке 1, где нормальные напряжения от , и имеют одинаковый знак, условие прочности записывается так:
, (5.43)
так как эта точка находится в линейном напряженном состоянии. Для хрупких материалов в правой части неравенства стоит или в зависимости от направления напряжения. Точки 2 (2) и 3 (3) находятся в "балочном" напряженном состоянии и условие прочности в них записывается по формулам (5.30) или (5.31) в зависимости от материала. Для хрупких материалов наиболее опасными являются точки, в которых действуют растягивающие напряжения, для пластичных материалов это точки с максимальными по модулю нормальными напряжениями.
В формулах (5.38)–(5.42)
; (5.44)
; (5.45)
; (5.46)
; (5.47)
; (5.48)
; (5.49)
; ; ; . Коэффициенты и определяются по таблице и зависят от . В приведенных формулах – меньшая сторона прямоугольника, параллельная оси . Знаки усилий в формулах (5.33)–(5.35) и (5.44)–(5.49) не учитываются.
Подбор размеров прямоугольного сечения производят из условия прочности в угловой точке без учета продольной силы. Перед подбором размеров сечение стержня надо расположить рационально. Если , то наибольшая сторона должна быть перпендикулярна оси . В этом случае ; . В противном случае сторона должна быть расположена параллельно оси , , а . Условие прочности (5.43) в угловой точке без учета записывается следующим образом:
. (5.50)
Зная отношение моментов сопротивления , из (5.50) можно найти необходимую величину момента сопротивления, а далее размеры сечения. Для учета продольной силы обычно округляют полученные размеры в большую сторону и проверяют прочность во всех опасных точках прямоугольного сечения с учетом всех усилий по приведенным выше формулам.
Примеры решения задач
5.3.1. Расчет стержня в общем случае сложного
сопротивления (задача № 32)
Условие задачи
Рис. 5.28. К решению
задачи № 32: а
– схема стержня с нагрузками;
б
– местные системы координат на участках
стержня
Решение
Определим внутренние усилия, используя метод сечений и правила знаков для усилий, справедливые для всех задач сложного сопротивления (см. рис. 5.1). На каждом участке введем местные системы координат, показанные на рис. 5.28, б. Ось х всегда направлена вдоль оси стержня12, оси – главные центральные оси инерции сечения. Чтобы не определять опорные реакции, будем рассматривать все силы со свободного конца стержня и найдем усилия в сечениях 0–5 (см. рис. 5.28, б).
; ; ;
; ; ;
; ; ; ;
; ; ;
; ;
; ; ;
; ;
; ; .
В соответствии с полученными результатами построим эпюры внутренних усилий (рис. 5.29). В рассматриваемом примере опасным является участок длиной , где действуют все усилия. На этом участке опасным будем считать сечение 5 (хотя при определенном сочетании величин нагрузок и размеров может быть опасным и сечение 4). Считая, что материал стержня – чугун (, , ) подберем размеры поперечного сечения стержня, приняв следующие исходные данные: ; ; ; ; ; . Для этих данных в опасном сечении 5 действуют такие усилия: , , , , , .
Рассмотрим первый вариант – стержень круглого поперечного сечения. Подбор радиуса сечения производим без учета продольной и поперечных сил в соответствии с заданным материалом из условия прочности по теории Мора (5.36). В формуле (5.36)
, , .
Из условия (5.36) найдем необходимый момент сопротивления
см3,
откуда, вспомнив, что , найдем радиус сечения
см.
Округляя радиус в большую сторону, примем см.
Рис. 5.29. Эпюры
внутренних усилий в стержне
кН/см2;
кН/см2.
Подставим найденные напряжения в условие прочности по теории Мора (5.30):
кН/см2 < кН/см2.
Рис. 5.30. Эпюры
напряжений (в кН/см2)
в стержне
круглого сечения
Теперь рассмотрим второй вариант – стержень прямоугольного сечения с отношением . Подбор сечения производим из условия прочности (5.50) в угловой точке сечения. Поскольку в рассматриваемом примере , то располагаем сечение выгодным образом, т.е. так, чтобы ось располагалась по середине длинной стороны прямоугольника. Тогда и условие (5.50) для чугуна перепишем в таком виде:
.
Отсюда получим необходимый момент сопротивления
см3
и, учтя, что , найдем высоту сечения
см см.
Построим эпюры распределения напряжений в прямоугольном сечении от всех видов внутренних усилий так, как описано во вступительной части разд. 5.3, и проверим прочность во всех опасных точках. Эпюры напряжений и опасные точки для рассматриваемого примера показаны на рис. 5.31. Напряжения найдены по формулам (5.44)–(5.49). Опасными для хрупкого материала являются точки, в которых действуют растягивающие напряжения, т. е. точки 1, 2 и 3 (см. рис. 5.31). Суммируем напряжения в опасных точках с учетом их направлений. В точке 1
кН/см2 <кН/см2,
то есть условие прочности выполняется.
В точке 2
кН/см2,
кН/см2
и условие прочности (5.30) по теории Мора
<кН/см2
выполняется.
Наконец, в точке 3 действуют напряжения
кН/см2,
кН/см2.
Условие прочности (5.30) в этой точке
<кН/см2
Рис. 5.31. Эпюры
напряжений (в кН/см2)
в стержне
прямоугольного
сечения