- •Н. Б. Левченко сопротивление материалов
- •Часть 3
- •Сопротивление материалов
- •Часть 3
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •5. Сложное сопротивление
- •Основные понятия и формулы
- •5.1. Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу
- •5.2. Внецентренное растяжение-сжатие стержней большой жесткости
- •5.2.2. Определение грузоподъемности жесткого стержня моносимметричного сечения при внецентренном растяжении-сжатии (задача № 29)
- •5.2.3. Определение грузоподъемности внецентренно сжатых жестких стержней несимметричных сечений (задачи № 30, 31)
- •5.3. Общий случай сложного сопротивления Основные определения
- •5.3.2. Расчет коленчатого вала на изгиб с кручением (задача № 33)
- •Основные определения
- •Пример расчета коленчатого вала
- •6. Устойчивость
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •6.1. Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)
- •6.2. Подбор сечения центрально-сжатого стержня (задача № 35)
- •6.3. Расчет гибкого сжато-изогнутого стержня (задача № 36)
- •7. Расчет на динамическую нагрузку
- •7.1. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы (задача № 37)
- •Основные определения
- •Пример расчета системы с одной степенью свободы Условие задачи21
- •Решение
- •7.2. Расчет рамы (балки) на ударную нагрузку (задача № 38) Основные определения
- •Условие задачи
- •Решение
- •Список литературы
- •Содержание
- •Сопротивление материалов
- •Часть 3
Примеры решения задач
6.1. Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)
Условие задачи
Рис. 6.3. Условие
задачи № 34:
а
– сжатый стержень;
б
– поперечное сечение стержня
-
найти значение критической нагрузки;
-
определить допускаемую нагрузку так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности стержня;
-
вычислить нормируемый коэффициент запаса устойчивости.
Решение
Прежде всего найдем моменты инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей. Сечение имеет две оси симметрии (оси y и z на рис. 6.3, б), поэтому эти оси и будут главными центральными осями инерции сечения. Моменты инерции относительно этих осей определяем, используя данные из сортамента прокатной стали и формулы (5.16), (5.17):
Минимальным оказался момент инерции относительно оси z. Определяем площадь сечения
и минимальный радиус инерции по формуле (5.10)
Теперь можно найти гибкость стержня. Для заданного условия закрепления стержня в соответствии с рис. 6.2,б коэффициент . Тогда по формуле (6.1)
Сравним величину полученной гибкости стержня с характеристиками и для стали С235. По формуле (6.5)
по таблице, приведенной в [4, с. 29],. Таким образом, и для определения критической силы следует использовать формулу Ясинского (6.3):
Значения коэффициентов a и b в формуле Ясинского взяты из таблицы на с. 29 [4] и переведены из МПа в кН/см2.
Найдем допускаемую нагрузку из условия устойчивости по формуле (6.7). Для определения коэффициента используем таблицу на с. 370 [2]16. Интерполируем значения , заданные в таблице: соответствует , а – . Тогда гибкости рассматриваемого стержня соответствует . Значение допускаемой нагрузки
Проверим, удовлетворяет ли найденная допускаемая нагрузка условию прочности (6.8). Вычислим площадь нетто, уменьшив полную площадь сечения на площадь, занимаемую четырьмя отверстиями под болты17:
Тогда условие прочности
выполняется.
В заключение найдем нормируемый коэффициент запаса устойчивости по формуле (6.9):
Коэффициент запаса устойчивости находится в пределах .
6.2. Подбор сечения центрально-сжатого стержня (задача № 35)
Рис. 6.4. К решению
примера 1:
а –
сжатый стержень;
б
– поперечное сечение стержня
Условие задачи
Стержень, показанный на рис. 6.4, а, сжимается силой F = 600 кН. Сечение стержня, состоящее из двух равнополочных уголков, изображено на рис. 6.4, б. Материал стержня – сталь С235. Требуется подобрать размеры уголков так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности и расход материала был минимальным. Ослабления составляют 15% площади сечения.
Решение
Сечение стержня состоит из уголков (прокатного профиля), поэтому используем для подбора сечения метод последовательных попыток. Поскольку в условии устойчивости имеем сразу две неизвестные величины ( и ), то одной из них задаемся произвольно. Удобно задаться . Тогда из условия устойчивости (6.6) найдем
Площадь одного уголка Из сортамента прокатной стали выбираем уголок, удовлетворяющий этому условию. Отметим, что в сортаменте может быть несколько уголков с примерно одинаковой площадью: уголки с длинной полкой и тонкой стенкой и уголки с короткой, но более толстой стенкой. Выбирать следует самые тонкие уголки, так как при одинаковой площади радиус инерции у тонких уголков больше и, следовательно, гибкость стержня с сечением из тонкого уголка меньше, а чем меньше гибкость, тем более устойчив стержень. В рассматриваемом примере выберем уголок 18011, площадь которого . Найдем радиусы инерции относительно главных центральных осей y и z, которыми являются оси симметрии сечения (см. рис. 6.4, б). Следует ожидать, что радиус инерции относительно оси y будет минимальным, так как материал ближе расположен к оси y, чем к оси z. Убедимся в этом.
Радиус инерции одного уголка относительно оси берем из сортамента: , а расстояние а (см. рис. 6.4, б) сосчитаем:
Таким образом, очевидно, что
и
Теперь найдем гибкость стержня18
и из таблицы, интерполируя, найдем . Проверим условие устойчивости:
Условие устойчивости выполняется, но сечение не является экономичным, поэтому сделаем еще попытку. Уменьшим размеры сечения и примем самый тонкий уголок их тех, у которых длина полки 160 мм, а именно, уголок 16010. , и гибкость стержня
По таблице находим и видим, что условие устойчивости выполняется с небольшим запасом:
Сечение из двух уголков 16010 можно считать экономичным19. Условие прочности для подобранного сечения тоже выполняется, поскольку согласно условию .
В заключение найдем действительный коэффициент запаса устойчивости. Поскольку стержень с подобранным сечением из уголков 16010 имеет гибкость , находящуюся в пределах между и , то определяем критическую силу по формуле Ясинского:
Действительный коэффициент запаса устойчивости
Пример 2
Условие задачи
Рис. 6.5. Сжатый
стержень
квадратного
поперечного
сечения
Решение
Поскольку размеры сечения могут быть любыми, используем метод последовательных приближений. Выполним первое приближение. Примем . Из условия устойчивости (6.6) найдем площадь сечения, подставив :
.
Поскольку , то . Найдем минимальный радиус инерции сечения. Для квадрата любая ось является главной и радиус инерции относительно любой оси
.
Зная радиус инерции, вычислим гибкость стержня по формуле (6.1):
.
По таблице находим для дерева . Полученное значение еще сильно отличатся от величины , принятой в начале первого приближения, поэтому выполним второе приближение. Найдем как среднее арифметическое между и :
и повторим все действия, выполненные в первом приближении:
Этой гибкости соответствует . Выполним еще одно, третье, приближение:
Соответствующее этой гибкости значение отличается от на 1,2 %. Такая точность достаточна, поэтому примем . Для этого размера в условии устойчивости
достигнуто желаемое равенство.
В заключение проверим условие прочности, считая .
.