- •Н. Б. Левченко сопротивление материалов
- •Часть 3
- •Сопротивление материалов
- •Часть 3
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •5. Сложное сопротивление
- •Основные понятия и формулы
- •5.1. Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу
- •5.2. Внецентренное растяжение-сжатие стержней большой жесткости
- •5.2.2. Определение грузоподъемности жесткого стержня моносимметричного сечения при внецентренном растяжении-сжатии (задача № 29)
- •5.2.3. Определение грузоподъемности внецентренно сжатых жестких стержней несимметричных сечений (задачи № 30, 31)
- •5.3. Общий случай сложного сопротивления Основные определения
- •5.3.2. Расчет коленчатого вала на изгиб с кручением (задача № 33)
- •Основные определения
- •Пример расчета коленчатого вала
- •6. Устойчивость
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •6.1. Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)
- •6.2. Подбор сечения центрально-сжатого стержня (задача № 35)
- •6.3. Расчет гибкого сжато-изогнутого стержня (задача № 36)
- •7. Расчет на динамическую нагрузку
- •7.1. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы (задача № 37)
- •Основные определения
- •Пример расчета системы с одной степенью свободы Условие задачи21
- •Решение
- •7.2. Расчет рамы (балки) на ударную нагрузку (задача № 38) Основные определения
- •Условие задачи
- •Решение
- •Список литературы
- •Содержание
- •Сопротивление материалов
- •Часть 3
5.1. Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу
Основные определения
Рис. 5.3. Косой
изгиб
Рис. 5.4.
Пространственный изгиб
При косом или пространственном изгибе в сечении стержня возникают четыре усилия: , , и . Нормальные напряжения в произвольной точке сечения определяются по формуле, полученной из (5.1) при ,
. (5.3)
Касательные напряжения от поперечных сил, если нельзя воспользоваться формулой Журавского, допустимо не учитывать.
Порядок проверки прочности балки, работающей в условиях косого или пространственного изгиба, тот же, что и для балки, работающей при плоском поперечном изгибе. Для этого необходимо:
-
построить эпюры внутренних усилий2. Для построения эпюр внутренних усилий раскладываем нагрузки на вертикальную и горизонтальную составляющие. Вертикальная составляющая вызывает изгиб относительно горизонтальной оси , горизонтальная – относительно оси ;
-
выбрать опасные сечения – сечения, где имеет место наиболее неблагоприятное сочетание изгибающих моментов;
-
в опасных сечениях найти опасные точки – точки с максимальными нормальными напряжениями;
-
записать условие прочности в этих точках. Из условия прочности либо подобрать размеры поперечного сечения, либо найти допускаемую нагрузку, либо просто сделать вывод о возможности безопасной эксплуатации конструкции.
Определение положения опасных точек в стержне произвольного поперечного сечения производится по схеме, описанной ранее во вступительной части разд. 5. Поскольку в уравнении нейтральной линии
(5.4)
отсутствует свободный член, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения (рис. 5.5). Построив нейтральную линию и эпюру нормальных напряжений, найдем положение опасных точек. Допустим, что напряжение в точке 1 больше, чем в точке 1 (это можно определить по масштабу, если построить сечение и эпюру напряжений в масштабе). Условие прочности в опасной точке 1, которая находится в линейном напряженном состоянии, записывается так:
. (5.5)
Значение зависит от материала, из которого сделана балка, и для хрупкого материала необходимо учесть направление (растягивающее или сжимающее) .
Для некоторых форм сечений, а именно прямоугольника, двутавра и других сечений, угловые точки которых находятся в углах прямоугольника, нет необходимости для записи условий прочности находить положение опасных точек. Для таких сечений положение опасных точек не зависит от угла наклона нейтральной линии, и опасные точки – это всегда угловые точки сечения. Условие прочности в этих точках записывается следующим образом:
, (5.6)
где и – моменты сопротивления поперечного сечения относительно главных центральных осей.
Рис. 5.5. Эпюра
нормальных
напряжений и
перемещение
точки О
оси балки
. (5.7)
Перемещения точек оси балки вдоль оси , вызванные горизонтальной составляющей нагрузки, определяются аналогично:
. (5.8)
Эти перемещения для точки оси балки показаны на рис. 5.5. Полное перемещение (отрезок на рис. 5.5) является геометрической суммой составляющих и . Отметим такую закономерность: при косом изгибе отрезок должен быть в точности перпендикулярен нейтральной линии [2], при пространственном изгибе этот угол, как правило, должен быть близок к . При косом изгибе плоскость, в которой лежит изогнутая ось стержня, не совпадает с плоскостью действия нагрузки. Это отличает косой изгиб от прямого, при котором плоскость действия нагрузки совпадает с одной из главных плоскостей осей инерции сечения и изогнутая ось лежит в той же плоскости.
Пример расчета балки при пространственном изгибе (задача № 28)
Условие задачи
Балка загружена нагрузкой, показанной на рис. 5.6. Сила кН действует в вертикальной плоскости, кН – в горизонтальной, пара сил кНм – в плоскости, расположенной под углом к оси .
Требуется:
-
из условия прочности подобрать номер двутавра;
-
Рис. 5.6. Схема нагрузки на балку
-
нарисовать сечение балки в масштабе и показать на нем нейтральную линию и полное перемещение точки . Определить угол между нейтральной линией и полным перемещением3.
Решение
Разложим нагрузку на вертикальную (рис. 5.7, а) и горизонтальную (рис. 5.7, в) составляющие и построим эпюры и (рис. 5.7, б, г). Чтобы правильно поставить знаки изгибающих моментов, необходимо на рисунках показывать направление осей и , так как в соответствии с правилом знаков для изгибающего момента в задачах сложного сопротивления знак момента зависит от направления осей. Эпюры моментов строим со стороны растянутых волокон в той плоскости, в которой действует нагрузка. По эпюрам выбираем опасные сечения. В рассматриваемом примере их два: сечение , в котором действуют кНм и кНм, и сечение с изгибающими моментами кНм и кНм.
Условие прочности в опасных точках двутавра имеет вид (5.6). Поскольку отношение моментов сопротивления зависит от номера двутавра, а он неизвестен, примем это отношение условно4 равным 10.
Рис. 5.7. Эпюры
изгибающих моментов:
а,
б
– от вертикальной составляющей нагрузки;
в,
г
– от горизонтальной составляющей
нагрузки;
д,
е
– от единичной силы
,
где допускаемое напряжение для стали принято = 160 МПа; величины изгибающих моментов переведены из кНм в кНсм. Из написанного условия прочности найдем необходимый момент сопротивления
см3.
По сортаменту прокатной стали подбираем номер двутавра. Для двутавра № 50 с такими характеристиками: см3 и см3 условие прочности в опасных точках сечения
кН/см2
не выполняется, поэтому увеличиваем двутавр. Проверим прочность для двутавра № 55, у которого см3 и см3:
кН/см2.
Убедимся в том, что условие прочности выполняется и в опасных точках опасного сечения :
кН/см2.
Обратите внимание на величину напряжений от изгибающего момента , действующего в горизонтальной плоскости, которую показывает второй член в сумме. Видно, что, несмотря на то, что в рассмотренном примере существенно меньше , напряжения от больше, чем напряжения от (или они примерно одинаковы). Это говорит об опасности изгиба в горизонтальной плоскости, особенно для двутавров, у которых .
Найдем перемещение точки . Будем искать по формуле (5.7) сначала вертикальную составляющую перемещения, вызванную вертикальной составляющей нагрузки. Формулу Максвелла – Мора (5.7) интегрируем по правилу Верещагина, перемножая эпюры и (рис. 5.7, б, е). Если хотя бы одна эпюра на участке имеет форму трапеции, используем для перемножения правило трапеций [6].
кНм3.
Аналогично определим по (5.8) горизонтальную составляющую перемещения5, перемножая эпюры и (рис. 5.7, г, е).
кНм3.
Положительные знаки перемещений свидетельствуют о том, что перемещения происходят по направлениям единичных сил, т. е. вертикальное перемещение – вниз (по направлению оси ), горизонтальное – по направлению оси . Сосчитаем найденные составляющие перемещения (в см), разделив их на соответствующие жесткости.
кНсм2,
кНсм2,
см,
см.
Из сравнения величин и видно, что горизонтальная составляющая перемещения, даже при небольшой горизонтальной нагрузке, много больше (особенно для двутавра) вертикальной составляющей.
Выполним последнюю часть задачи. Нарисуем сечение балки в масштабе, покажем на нем нейтральную линию и полное перемещение. Уравнение нейтральной линии (5.4) в опасном сечении С имеет вид6
или . Нейтральная линия, построенная по этому уравнению, и эпюра нормальных напряжений в сечении показаны на рис. 5.8. Знаки напряжений соответствуют положительным знакам изгибающих моментов. Угловые точки 1, 1 – это опасные точки сечения, в которых мы ранее находили напряжения.
Рис. 5.8. Эпюра
напряжений
в опасном сечении
С
и перемещение
точки С
.
Отложим в масштабе найденные ранее вертикальную и горизонтальную составляющие перемещения с учетом их направления. Полное перемещение точки – отрезок на рис. 5.8 равен геометрической сумме и . Угол между полным перемещением и осью
.
Таким образом, угол между полным перемещением и нейтральной линией , что близко к .