- •220400 Алгебра и геометрия Толстиков а.В. Лекции 10. Плоскость и прямая в пространстве План
- •1. Уравнения поверхности в пространстве. Уравнение сферы.
- •2. Различные уравнения плоскости
- •3. Взаимное расположение плоскостей. Углы между плоскостями.
- •5. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Взаимное расположение прямых и плоскостей. Углы между прямыми.
- •7. Расстояние между двумя прямыми
- •8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Пусть в пространстве прямя a, в некоторой аффинной системе координат задана параметрическими уравнениями:
(1)
плоскость задана общим уравнением:
: Ax + By + Cz + D = 0. (2)
Исследуем взаимное расположение прямой и плоскости. Для этого подставим из уравнений (1) в уравнения (2) и получим
A(x0 + mt) + B(y0 + kt) + C(z0 + lt) + D = 0,
(Am + Bk + Cl)t + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. (3)
Отсюда и из теоремы о линейном уравнении получаем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть дана прямая a и плоскость , заданные соответственно уравнениями (1) и (2). Тогда справедливы следующие утверждения:
1) прямая и плоскость пересекаются тогда и только тогда, когда
Am + Bk + Cl 0; (4)
2) прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда
Am + Bk + Cl = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D 0; (5)
-
прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда
Am + Bk + Cl = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. (6)
Пусть в пространстве прямя a, в некоторой прямоугольной системе координат задана каноническими уравнениями:
а:,
а плоскость задана общим уравнением:
: Ax + By + Cz + D = 0. (8)
Определение 1. Углом, между прямой а и плоскостью , которые пересекаются, называется угол между прямой а и ее проекцией на плоскость . Если прямая а и плоскость параллельны, то угол считается равным нулю.
Рассмотрим угол между направляющим вектором s = (m,k,l) - прямой а и нормальным вектором n = (A,B,C) плоскости . Тогда угол между прямой а и плоскостью равен 2 - . Тогда из формулы для скалярного произведения векторов находим, что
sin = cos =.
Отсюда находим, что
. (9)
Прямая а и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор s = (m,k,l) прямой a коллиниарен нормальному вектору n = (A,B,C) плоскости . Последнее равносильно условию . Получаем условие перпендикулярности прямой и плоскости
Am + Bk + Cl = 0. (10)