5. Различные уравнения прямой в пространстве

Пусть в пространстве задана аффинная система координат (O,e₁,e₂,e₃) .

Определение 1. Направляющим вектором прямой a называется ненулевой вектор s, параллельный прямой a.

Пусть s = (m,k,l) -направляющие вектора прямой а, M₀(x₀,y₀,z₀)- точка, принадлежащая прямой а. Пусть M(x,y,z), произвольная точка пространства,

.

Точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы и s коллинеарны. Последнее равносильно тому, что координаты этих векторов пропорциональны. Отсюда получаем уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀,y₀,z₀), параллельной вектору s = (m,k,l):

.

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением прямой. Заметим, что если знаменатель в каноническом уравнении равен нулю, то и соответствующий числитель равен нулю.

Пусть M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂) - две различные точки, принадлежащие прямой а. В качестве направляющего вектора прямой а возьмем вектор . Тогда по формуле (1) получаем уравнение прямой, проходящей через две точки:

. (2)

Рассмотрим радиус вектора r_o = и r =. Точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы = r - r_o и s коллинеарны. Так как вектор s ненулевой, то последнее равносильно тому, что вектор r - r_o линейно выражается через вектор s, т.е.

r - r_o = ts,

где t - действительное число.

Отсюда получаем так называемое векторно-параметрическое уравнение плоскости:

r = r_o + ts, (3)

где t - произвольный действительный параметр.

Так как r == (x,y,z), r_o = = (x₀,y₀,z₀), то запишем это уравнение в координатной форме. Получим параметрические уравнения прямой прямой а:

(4)

где t - произвольный действительный параметр, s = (m,k,l) - направляющий вектор прямой а, M₀(x₀,y₀,z₀) - точка, принадлежащая прямой а.

Прямую можно также представить как линию пересечения двух пересекающихся плоскостей  и :

, (5)

где A₁² + B₁²+ C₁²  0, A₂² + B₂²+ C₂²  0;

Чтобы перейти от уравнений (4) прямой к каноническим уравнениям прямой необходимо найти точку M₀ этой прямой и направляющий вектор этой прямой. Решив систему (4) и найдем одно ее частное решение (x₀,y₀,z₀), M₀(x₀,y₀,z₀)- точка, принадлежащая прямой а.

Наиболее легко направляющий вектор прямой находится в прямоугольной системе координат исходя из определения векторного произведения векторов. Для этого рассмотрим нормальные вектора n₁ = (A₁,B₁,C₁), n₂ = (A₂,B₂,C₂) плоскостей  и . Направляющим вектором прямой пересечения плоскостей  и  является векторное произведение векторов n₁ , n₂.

Находим векторное произведение векторов

n₁  n₂ = .

Таким образом, каноническое уравнение прямой (4) имеет вид:

. (5)