20. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.

Пусть на плоскости задана аффинновая система координат .

Утверждение 1. Для того, чтобы прямые и , заданные уравнениями (7)

(8)

соответственно совпадали необходимо и достаточно, чтобы (9)

| l₁ и l₂ совпадают, это означает, что их направляющие вектора и коллинеарные, т.е. (10)

Возьмем т. этим прямым, тогда ,

Умножая первое уравнение на и прибавляя по ??? в силу (10): (11)

Формулы (10), (11) эквивалентны (9)

| пусть выполняется (9), тогда уравнения (7) и (8) эквивалентны  соответствующие прямые совпадают, ч.т.д.∎

Утверждение 2. Прямые и , заданные уравнениями , параллельны и не совпадают  (12)

Доказательство.

| прямые параллельны и не совпадают  несовместна, а это возможно, по теореме Кронекера-Конелли  ,

возможно лишь при условии это возможно при выполнении (12)

| Если выполняется первое равенство  прямые параллельны, а не выполнение второго  система (7), (8) несовместна  прямые параллельны и не совпадают, ч.т.д.∎

Следствие (из 1,2). Прямые и пересекаются  (13)

Утверждение 3. Пусть прямые и , задаваемые уравнениями (7,8), пересекаются в единственной точке с координатами , тогда прямая l₃ проходит через т.  она задается уравнением: (14)

Т.е. уравнение (14) – линейная комбинация (7,8)

Доказательство.

| Очевидно, а именно, если уравнение l₃ задается (14), то она проходит через т.

| пусть l₃ проходит через т. и имеет уравнение .

Возьмем на прямой l₃  т. , отличную от т. . Выберем

Покажем, что уравнение для l₃ пропорционально (14) с выбранными .

Т.к. т. не может одновременно принадлежать прямым и и  хотя бы одно из и отлично от нуля. Поэтому уравнение является уравнением первой степени  определяет некоторую прямую.

По построению эта прямая проходит через т. , т.к. через две точки плоскости, то она совпадает с прямой . Поэтому в силу утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.∎

Уравнение (14) называется уравнением пучка прямых, проходящих через т..

30. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , тогда угол между прямыми, определяющийся углом между направляющими векторами может быть определен формулой: .

Отметим, что угол между прямыми принимает значение от , угол между направляющими .

Поэтому угол между прямыми определяется углом между векторами. Получаем, что прямые (7), (8) в прямоугольной системе координат ортогональны  (15)

Отметим, что только прямоугольной декартовой системе координат вектор является перпендикулярной к прямой

_{В дальнейшем построим нормальное уравнение на плоскости. В начале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Ox и l1 – ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.}

y

N

l₁

P

M

0

x

Рис.3.

Пусть прямая и пусть длина

,- угол между l₁ и . Если т.М лежит на l₁, то очевидно, что проекция

Последнее условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы т. М.

или , (16)

где - расстояние от т. М до начала координат,

- угол между и .

Другими словами, - полярные координаты т. М. Таким образом, уравнение (16) является уравнением прямой в полярной системе координат. Уравнение (16) можно переписать:

,

где - координаты т. М в соответствующей прямоугольной декартовой системе координат.

Получаем: (17) – нормальное уравнение прямой на плоскости, где

- длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую,

- угол наклона нормали к оси абсцисс.

Отметим, что и - координаты ортонормали. Покажем, что общее уравнение прямой привели к нормальному виду.

Пусть прямая l : , тогда нормальное уравнение получается умножением на некоторый нормирующий множитель : при этом , знак выбирается из условия

Если С=0, то знак произвольный.

Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния между от произвольной точки плоскости до прямой.

y

l₁

M₀

N

M

P

x

0

Рис.4.

Произвольная точка .

,. Очевидно, что расстояние от до l:

Рис.4.

Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты т. и полученную величину взять по модулю.

Замечание. Из рисунка видно, что если т. и начало координат лежат по разные стороны от l, то . В первом случае: , во втором - .

Последнее может быть использовано, чтобы узнать лежит ли т. и начало координат по одну сторону или по разные от прямой l.

Пример. .