- •Лекция 10 Законы распределения функции двух случайных величин
- •Вероятностный смысл функции распределения двух св
- •Пример 1: распределение площади проекции вращающегося параллелепипеда
- •Объектный метод построения распределения площади проекции выпуклого многогранника
- •Применение объектного метода к произвольному многограннику Рис. 10.4.
- •Моделирование произвольного многогранника Рис. 10.5.
- •Пример 4: Перекрытие прямоугольных областей
- •Законы распределения мультипликативных функций двух св
- •Закон распределения произведения двух св
- •Закон распределения отношения двух св
- •Пример 5: распределение площади прямоугольника со случайными длинами сторон
- •Пример 6: распределение объема параллелепипеда
- •Пример 7: закон распределения отношения нормальных центрированных св
- •Пример 8: распределение фазы промаха
- •Законы распределения аддитивных функций двух св
- •Закон распределения суммы двух случайных величин
- •Законы распределения разности двух св
- •Композиция законов распределения
- •Композиция некоторых законов распределения
- •Композиция двух равномерных законов
- •Композиция нескольких равномерных законов
- •Получение реализаций нормального закона с помощью датчика случайных чисел
- •Композиция равномерного и нормального распределений
- •Композиция двух показательных распределений
- •Композиция нескольких показательных распределений
- •Закон Эрланга
- •Разность двух независимых показательных распределений
- •Композиция двух св, распределенных по закону Пуассона
- •Осколочное поле как суперпозиция пуассоновских полей
- •Композиция биномиальных распределений
- •Композиция нормальных распределений
- •Композиция двух независимых нормальных распределений
- •Композиция двух зависимых нормальных распределений
- •Композиция двух нормально распределенных случайных векторов
- •Композиция объектов Norm2
- •Распределение наименьшей и наибольшей из нескольких св
- •Распределение наибольшей из нескольких св
- •Распределение наименьшей из нескольких св
- •Наименьший промах при круговом нормальном рассеивании
- •Наиболее раннее событие из нескольких пуассоновских потоков
Распределение наибольшей из нескольких св
|
Рис. 10.22. Область Dy = {x1, x2: max(x1, x2) < y} |
. |
(10.14) |
Если все Xi подчиняются одному закону распределения FX(x),
, . |
(10.15) (10.16) |
Распределение наименьшей из нескольких св
|
Рис. 10.23. Область Dy = {x1, x2: min(x1, x2) < y} |
. |
(10.17) |
Если все Xi подчиняются одному закону распределения FX(x),
, . |
(10.18) (10.19) |
Построим законы распределения стандартного нормального закона, максимального и минимального значений из n = 20 таких СВ (рис. 10.24):
>> X=[-5:0.1:5]; F=p_Gauss(X); f=f_Gauss(X); n=20;
>> plot(X,[f; f.*n.*(1-F).^(n-1); f.*n.*F.^(n-1)],'r'), hold on,plot(X,[F;1-(1-F).^n; F.^n],'b')
Рис. 10.24. Графики нормального закона, максимального и минимального значений
Наименьший промах при круговом нормальном рассеивании
. |
(10.20) |
Таким образом, наименьший из всех промахов в n независимых выстрелах с круговым нормальным рассеиванием x = y = подчиняется закону Рэлея с параметром . Если поражение цели обеспечивается при одном попадании в круговую окрестность цели, можно заменить в расчетах n независимых выстрелов одним обобщенным выстрелом с СКО, равным .
Наиболее раннее событие из нескольких пуассоновских потоков
.
Как и следовало ожидать, наиболее раннее событие из нескольких независимых потоков подчиняется тому же закону, что и первое событие в пуассоновском потоке с эквивалентной плотностью .
Контрольные вопросы
-
Какие законы распределения устойчивы по отношению к композиции? Что это значит?
-
Устойчиво ли к композиции равномерное распределение? Какому закону подчиняется сумма 12-и СВ, распределенных равномерно в интервале [0, 1]?
-
Какому закону подчиняется сумма двух нормально распределенных СВ XN(m1, 1), Y N(m2, 2)?
-
Чем объясняется отличие графиков закона Эрланга положительных порядков и показательного распределения при нулевом значении аргумента?
ПРИЛОЖЕНИЕ 10
Листинг 10.1. Файл-функция Para2_Distrib для построения закона распределения случайной площади проекции параллелепипеда:
function [Y,F]=Para2_Distrib(A,B,C)
topt=atan(B/C);
yopt=B*sin(topt)+C*cos(topt);
fopt=atan(A/yopt);
yopt=A*sin(fopt)+yopt*cos(fopt);
Y=linspace(A,yopt+3,300);
F=[];
for y=Y
F(end+1)=Para2_Proect_(y, A,B,C);
end
%
function out=Para2_Proect_(y, A,B,C)
out=0;
T=linspace(0,pi/2,100); dt=T(2)-T(1);T=T(2:end);
for t=T
b=B*sin(t)+C*cos(t);
ab2=A^2+b^2;
D=A^2*y^2-ab2*(y^2-b^2);
f2=0;
if D>0
D=sqrt(D);
f1 = (A*y-D)/ab2;
f2 = (A*y+D)/ab2;
if f1>0 out=out+f1; end
end
out=out+(1-f2);
end
out=out*2/pi*dt;
Листинг 10.2. Файл-функция Mid_S_Stat для построения статистического закона распределения случайной площади проекции многогранника:
function [U,F,f,maxW,L]=Mid_S_Stat(A,N,Gr)
if nargin<2 N=100000;end
s=rand(N,1)*2-1; s1=sqrt(1-s.^2);
v=rand(N,1)*2*pi;
D=[s1.*cos(v), s1.*sin(v), s];
n=size(A,1);W=0;L=zeros(N,1);
for i=1:n
d=D.*repmat(A(i,1:3),N,1); d=sum(d,2);
d(d<0)=0;
if nargout>4 L=max([L,d],[],2); end
d=d*A(i,4);
W=W+d;%disp(mean(sum(d,2)))
end
[f, F, U] = SDL(W,50); maxW=max(W);
Листинг 10.3. Файл-функция Mid_S:
function [f,F]=Mid_S(PG,N,K)
if nargin<2 N=50000;end
if nargin<3 K=50;end
fi=Gen('sin',-pi/2,pi/2,N);teta=Gen('rnd',0,2*pi,N);
[sq,n]=Facet(PG); PL=Plane([1 0 0]); S=zeros(1,N);
for i=1:N
d=Mdot(n,Normal(RotR(PL,2,fi(i),3,teta(i))));
I=find(d>0);
S(i)=dot(sq(I),d(I));
end
[f,F]=SmartHist(S,[],K);
Листинг 10.3. Скрипт-файл Lect10 для формирования матрицы проекций 8-гранника:
salfa=sin(alfa);calfa=cos(alfa); beta=atan(c/b);
h=c/(2*salfa);h1=sqrt(b^2+c^2)/2;a1=a-c*calfa/salfa;
St=b*h/2;Sb=(a+a1)/2*h1;
nob=[0 1 1; 0 1 -1; 0 -1 1; 0 -1 -1];
not=[1 0 1; 1 0 -1; -1 0 1; -1 0 -1];
A=[nob,ones(4,1)].*repmat([0 cos(beta) sin(beta) Sb],4,1);
A=[A;[not,ones(4,1)].*repmat([salfa 0 calfa St],4,1);
Листинг 10.4. Файл-функция f_Erlang для вычисления функции Эрланга:
% Плотность распределения Эрланга
% t - аргумент распределения
% L - плотность потока событий
% k - число пропущенных событий
%
function f= f_Erlang(t,L,k)
f=L/prod(1:k)*exp(-t*L).*(t*L).^k;
БЭСПиБП.10.
Функции случайных величин