Пример 7: закон распределения отношения нормальных центрированных св

Если СКО центрированных X₁ N(0, ₁), X₂  N(0, ₂) различны, заменой переменных u_i = u_i / _i преобразуем совместное распределение в круговое. Известно, что при любом законе f(u₁, u₂) с круговой симметрией отношение Y = U₂ / U₁ подчиняется закону Коши:

.

(10.4)

В самом деле, если f(u₁, u₂) = (u₁² + u₂²), то f(u₁, y u₁) = (). Вид функции  не имеет значения, поскольку после замены переменной получим (подынтегральная функция четная):

где постоянная C определяется из условия

.

Таким образом, СВ Y = распределена по закону Коши, а так как Z = , (z) = , (z) = , отношение координат Z подчиняется закону

Пример 8: распределение фазы промаха

Рис. 10.11. Фаза промаха

Фаза промаха – угол между направлением на случайную точку и одной из главных осей рассеивания (рис. 10.11). Эта СВ связана с отношением проекций точки Z = X₂ / X₁ функцией  = arctg(Z). Обратная функция () = tg(), () = 1/cos²(), учитывая плотность f_Z(z), по формуле (9.25) получим:

.

(10.5)

Построим графики плотности распределения фазы промаха при круговом рассеивании (k = 1), а также при ₁> ₂ (k = 2) и ₁< ₂ (k = 0,5):

>> x=[-1:0.01:1]*pi/2;k=1; y=k./(cos(x).^2+k^2*sin(x).^2)/pi; hold off, plot(x,y)

>> k=2; y=k./(cos(x).^2+k^2*sin(x).^2)/pi; hold on, plot(x,y)

>> k=0.5; y=k./(cos(x).^2+k^2*sin(x).^2)/pi; hold on, plot(x,y,'k')

Рис. 10.12. Плотность распределения фазы промаха

При круговом рассеивании фаза промаха распределена равномерно в интервале [–/2, /2], что непосредственно следует из формулы (10.5). В общем случае распределение существенно отличается от равномерного, что может сказаться на эффективности действия несимметричных полей поражения.

Законы распределения аддитивных функций двух св

Закон распределения суммы двух случайных величин

а б

Рис. 10.13. Область интегрирования для суммы СВ

Закон распределения СВ Y = X₁ + X₂ получается интегрированием совместной плотности f(x₁, x₂) по области D(y) = {x₁, x₂ : x₂ < y – x₁}, которую в каждом конкретном случае нужно согласовывать с областью возможных значений случайных слагаемых. На рис. 10.13 а показаны области интегрирования для неограниченных x₁, x₂. В этом случае

(10.6) (10.7)

Если интервалы возможных значений слагаемых ограничены, соответственно ограничена и область интегрирования D_y (рис. 10.13 б). В частности, область интегрирования положительных слагаемых представляет собой треугольник  = {x₁, x₂ : x₂ < y – x₁, x₁>0, x₂ >0}, а в формуле (10.7) бесконечные пределы интегрирования следует заменить на [0, y]:

(10.8)

Законы распределения разности двух св

Закон распределения разности Y = X₁ – X₂ совпадает с законом распределения суммы Y = X₁ + (– X₂) системы (X₁, –X₂). Для плотности распределения разности неограниченных СВ можно применить формулу (10.7) :

(10.9)

Композиция законов распределения

Закон распределения суммы независимых СВ называется композицией законов распределения. Для композиции используется специальное обозначение g = f₁  f₂. Совместную плотность в формулах (10.7), (10.8) можно заменить произведением частных законов:

(10.10)

Некоторые законы распределения обладают свойством устойчивости по отношению к композиции, т.е. композиция двух и более СВ с одним из таких законов распределения, подчиняется тому же закону.