3. Тотожні перетворення виразів.

Розглянемо два вирази і . Після перетворень отримаємо одинакові вирази. Вирази називаються тотожними, якщо вони мають одинакові числові значення при всіх допустимих значеннях букв, які входять до цього виразу. Тотожністю називають рівність, яка являється вірною при всіх допустимих значеннях букв, які до нього входять. Наприклад, 2+5=7, 3*5*6=90, - тотожні вирази.

Заміна одного виразу іншим, тотожним йому, називається тотожнім перетворенням цього виразу. Застосування законів і властивостей арифметичних дій перетворюють заданий алгебраїчний вираз в тотожній йому вираз.

Коефіцієнт

Числовий множник одночлена називається коефіцієнтом. Наприклад, . при перетвореннях виразу отримують новий коефіцієнт . Коефіцієнт, рівний одиниці не пишуть - , число -1 замінюють знаком «-» і пишуть /

Лекція 21, 22. Рівняння і нерівності з однією змінною.

Мета:

План:

1. Означення рівняння.

2. Рівносильні рівняння.

3. Властивості рівнянь.

4. Рівняння, що містять невідому в обох частинах.

5. Класифікація рівнянь.

6. Лінійні рівняння.

7. Квадратні рівняння.

1. Означення рівняння.

Рівність, яка містить невідоме число, позначене буквою, називають рівнянням. Наприклад, , , або

.

Розв‘язати рівняння – значить знайти всі ті значення невідомого, при яких рівняння перетворюються в вірну рівність (тотожність). Всі такі значення невідомого називають коренями (розв‘язками) рівняння.

*Рівняння може мати єдиний корінь

Підставивши інше значення отримаємо невірну рівність.

*Рішення може мати декілька коренів

*Рішення може зовсім не мати коренів

- невірна рівність

*Рішення може мати нескінченну множину коренів

Яке б значення не підставити завжди отримаємо тотожність

2. Рівносильні рівняння.

Корені рівняння

Два рівняння називаються рівносильними, якщо кожен з них має ті ж корні, що і інше

не рівносильні

являються рівносильними

обидва рівняння не мають жодного кореня але вважаються рівносильними

3. Властивості рівнянь.

*Якщо до обох частин рівняння додати одне й теж саме число чи багаточлен, то нове рівняння буде рівносильна заданому.

*Якщо обидві частини рівняння помножити на одне і теж число, то нове рівняння буде рівносильне заданому.

Користуючись цими двома властивостями можна розв‘язувати рівняння, не звертаючись на залежність між заданим і результатами арифметичних дій.

4. Рівняння, що містять невідому в обох частинах.

Бувають рівняння , які містять невідомі в обох частинах;.Його потрібно звести до такого виду , де невідома в одній частині.

За 1 властивістю.

Якщо в обох частинах рівняння існують одинакові члени, то їх можна опустити.

Будь який член рівняння можна перенести з однієї частини рішення в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний.

5. Класифікація рівнянь.

1. рівняння називають алгебраїчним , якщо права і ліва частини багаточлени

2.дробово-раціональними, якщо хоча б одна частина дробово-раціональна відносно невідомої.

3.ірраціональне, якщо хоча б одна частина містить ірраціональну залежність відносно .

4. трансцендентне, якщо

6. Лінійні рівняння.

Рівняння виду називають лінійними

Очевидно, такому рівнянню еквівалентні

1. якщо існує єдиний корінь

2. не має жодного кореня

3. нескінченно багато коренів

7. Квадратні рівняння.

Рівняння називають квадратними, якщо , то рівняння називають зведеним,

Якщо рівняння називається повним, в іншому випадку неповним

1.

2.

3.

Корені повного квадратного рівняння обчислюють за формулою;

Теорема Вієта - корені рівняння, то має місце співвідношення

Теорема , - корені квадратного трьохчлена

Лекція 23. Нерівності з однією змінною.