- •Моделирование химико-технологических процессов
- •Содержание
- •Лабораторная работа № 1
- •Лабораторная работа № 2 Моделирование работы теплообменника типа труба в трубе
- •Лабораторная работа № 3 Моделирование работы каскада реакторов идеального перемешивания
- •Лабораторная работа № 4 Моделирование процесса теплообмена в секционированном кристаллизаторе изогидрического типа
- •Лабораторная работа № 5 Определение остаточного ресурса трубопровода методами математической статистики
- •Лабораторная работа № 6 Обработка результатов полного факторного эксперимента второго порядка
- •Приложение 1 Определение среднего времени пребывания и построение с-кривой
- •Приложение 2 Пример решения дифференциального уравнения методом Эйлера
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
- •Приложение 6
- •Приложение 7
- •Приложение 8
Лабораторная работа № 6 Обработка результатов полного факторного эксперимента второго порядка
Цели работы: ознакомиться с методами планирования эксперимента; научиться составлению центральных композиционных планов 2-го порядка и обработке результатов эксперимента; решить приведенную задачу.
Краткие теоретические сведения
Центральное композиционное планирование используют в тех случаях, когда кривизна поверхности отклика велика и не может быть адекватно описана многочленом первого порядка. Наиболее широко для описания таких поверхностей применяют полиномы второго порядка типа
. (1)
Общий вид матрицы планирования для композиционного 2-фактор-ного плана представлен в табл. 1.
Таблица 1
Композиционный план 2-го порядка для 2 факторов
Системы опытов |
№ оп. |
х0 |
х1 |
х2 |
х1 х2 |
х12 |
х22 |
Полный факторный эксперимент |
1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
2 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
3 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
|
4 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
Опыты в звездных точках |
5 |
+1 |
+ |
0 |
0 |
2 |
0 |
6 |
+1 |
– |
0 |
0 |
2 |
0 |
|
7 |
+1 |
0 |
+ |
0 |
0 |
2 |
|
8 |
+1 |
0 |
– |
0 |
0 |
2 |
|
Опыты в центре плана |
9 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
N |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Здесь х1 и х2 – нормированные значения первого и второго факторов, – величина звездного плеча.
Геометрически план второго порядка для двух факторов можно представить в виде рисунка.
Количество опытов в матрице композиционного плана второго определяется по формулам
при k < 5; , при k 5, (2)
где 2k – число опытов, образующих полный факторный эксперимент (ядро плана); 2k – число так называемых звездных точек в факторном пространстве, имеющих координаты (, 0); (0, ); n0 – опыты в центре плана. Различают два вида композиционного планирования – ортогональное и ротатабельное.
Рис. Композиционный план 2-го порядка для 2 факторов
Ортогональный план второго порядка
В общем виде композиционные планы второго порядка не ортогональны, но они легко приводятся к ортогональным выбором соответствующего звездного плеча . Значения звездного плеча для ортогонального композиционного плана приведены в приложении 7.
Пример ортогонального плана второго порядка для двух факторов приведен в табл. 2.
Таблица 2
Ортогональный план 2-го порядка для 2 факторов
Системы опытов |
№ оп. |
х0 |
х1 |
х2 |
х1 х2 |
х1* |
х2* |
Полный факторный эксперимент |
1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1/3 |
+1/3 |
2 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1/3 |
+1/3 |
|
3 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1/3 |
+1/3 |
|
Опыты в звездных точках |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1/3 |
+1/3 |
5 |
+1 |
+1 |
0 |
0 |
+1/3 |
–2/3 |
|
6 |
+1 |
–1 |
0 |
0 |
+1/3 |
–2/3 |
|
7 |
+1 |
0 |
+1 |
0 |
–2/3 |
+1/3 |
|
8 |
+1 |
0 |
–1 |
0 |
–2/3 |
+1/3 |
|
Опыты в центре плана |
9 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
–2/3 |
–2/3 |
Уравнение регрессии при центральном ортогональном композиционном планировании ищут в следующем виде:
. (3)
Благодаря ортогональности матрицы планирования все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга по формулам
(4)
;
здесь j – номер фактора; i – номер опыта; j 0 при коэффициенте bj и j u при коэффициенте bju.
Входящие в уравнение (3) вспомогательные переменные определяются по формуле
, где . (5)
Расчет вспомогательных переменных производится с целью приведения матрицы к ортогональному виду. Для того чтобы получить уравнение регрессии в обычной форме
, (6)
b0 определяют по формуле
(7)
и оценивают с дисперсией, равной
. (8)
Рассчитав дисперсию воспроизводимости, проверяют значимость коэффициентов и адекватность полученного уравнения.
Коэффициенты уравнения регрессии, получаемые при помощи ортогональных планов второго порядка, определяются с разной точностью. Ошибки коэффициентов для k < 5 определяются по формулам
. (9)
. (10)
. (11)
. (12)
где u, j = 1, 2, 3, 4; u j; значения дисперсии воспроизводимости и стандарта определяются по формулам
, (13)
где – значения параметра оптимизации в параллельных опытах; m – количество параллельных опытов; – среднее значение параметра оптимизации в параллельных опытах.
Значимость коэффициентов регрессии определяется по критерию Стьюдента
. (14)
Коэффициент значим, если tj > tт, где tт – табличное значение критерия Стьюдента, которое определяется по приложению 4 в зависимости от числа степеней свободы воспроизводимости. Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения без пересчета.
Проверка адекватности уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия Фишера
. (15)
Здесь дисперсия адекватности определяется по формуле
, (16)
где – экспериментальное и расчетное значение параметра оптимизации; L – количество значимых коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение адекватно, если расчетное значение F меньше табличного для выбранного уровня значимости р.
Ротатабельный план второго порядка
Ортогональные планы второго порядка не обладают свойством ротатабельности. Бокс и Хантер предложили считать оптимальными ротатабельные планы второго порядка. Пример ротатабельного плана второго порядка для двух факторов приведен в табл. 3.
Определение коэффициентов уравнения регрессии при ротатабельном планировании осуществляется по формулам (17).
|
; ; ; ; ; . |
(17) |
Таблица 3
Ротатабельный план второго порядка для k = 2
Системы опытов |
№ оп. |
х0 |
х1 |
х2 |
х1 х2 |
х12 |
х22 |
Полный факторный эксперимент |
1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
2 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
|
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
Опыты в звездных точках |
5 |
+1 |
–1,412 |
0 |
0 |
+2 |
0 |
6 |
+1 |
+1,412 |
0 |
0 |
+2 |
0 |
|
7 |
+1 |
0 |
–1,412 |
0 |
0 |
+2 |
|
8 |
+1 |
0 |
+1,412 |
0 |
0 |
+2 |
|
Опыты в центре плана |
9 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
11 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
12 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
13 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Значения констант для определения коэффициентов регрессии при ротатабельном планировании приведены в табл. 4.
Таблица 4
Значения констант для определения коэффициентов регрессии
Число факторов, k |
Число опытов, N |
n0 |
|
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
2 |
13 |
5 |
1,412 |
0,2 |
0,1 |
0,125 |
0,25 |
0,1251 |
0,0187 |
0,1 |
3 |
20 |
6 |
1,682 |
0,166 |
0,0568 |
0,0732 |
0,125 |
0,0625 |
0,0069 |
0,0568 |
4 |
31 |
7 |
2,0 |
0,1428 |
0,0357 |
0,0417 |
0,0625 |
0,0312 |
0,0037 |
0,0357 |
5* |
32 |
6 |
2,0 |
0,1591 |
0,0341 |
0,0417 |
0,0625 |
0,0312 |
0,0028 |
0,0341 |
5 |
52 |
10 |
2,378 |
0,0988 |
0,0191 |
0,0231 |
0,0312 |
0,0156 |
0,0015 |
0,0191 |
* полуреплика
Дисперсия воспроизводимости при ротатабельном планировании определяется по опытам в центре плана аналогично ортогональному планированию. Ошибки коэффициентов определяются по формулам (18).
Sb02 = a1; Sbj2 = a3; Sbuj2 = a4; Sbjj2 = (a5+a6) . (18)
Значимость коэффициентов уравнения регрессии определяется аналогично ортогональному планированию. Если незначимым оказался один из квадратичных эффектов, после его исключения коэффициенты уравнения регрессии необходимо пересчитать.
Дисперсию адекватности определяют по формуле
, (19)
где остаточная дисперсия, число степеней свободы остаточной дисперсии и число степеней свободы дисперсии адекватности соответственно равны:
|
,
|
(20)
|
|
,
|
(21)
|
|
. |
(22) |
Уравнение адекватно, если расчетное значение критерия Фишера не превышает табличного (приложение 8), взятого для степеней свободы f1 = fад и f2 = fвос.
Задача
По результатам экспериментов получить уравнения регрессии, определить их адекватность и построить расчетные поверхности отклика в области проведения экспериментов.
Ход работы:
-
Получить исходные данные у преподавателя.
-
Определить коэффициенты уравнения регрессии по ортогональному плану эксперимента по формулам (4).
-
Определить дисперсию воспроизводимости и стандарт по формулам (13).
-
Определить ошибки коэффициентов по формулам (9–12).
-
Рассчитать значения критерия Стьюдента по формуле (14) и определить значимость коэффициентов уравнения регрессии. Скорректировать уравнение регрессии с учетом отброшенных коэффициентов.
-
Рассчитать по формуле (15) критерий Фишера и по приложению 8 определить адекватность полученной модели.
-
Построить расчетную поверхность отклика в области проведения эксперимента.
-
Аналогично (п. 1–7) получить уравнение регрессии по ротатабельному плану, определить его адекватность и построить поверхность отклика.
-
Написать вывод по работе.