2.4.1. Розв’язок типового прикладу завдання 4 ргр

Приклад 2.3. Обчислити об’єм тетраедра

і площу грані , якщо;

; ; .

Розв’язок. Зробимо схематичний рисунок

(2.7). Об’єм тетраедра, згідно (2.18)

.

Знайдемо вектори

;

;

.

Тоді об’єм тетраедра

= (куб. од.).

Площа грані дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і . Позначимо векторний добуток через . Тоді модуль вектора дорівнює площі паралелограма

.

(кв. од.).

Відповідь: куб. од.; кв. од.

3.1. Довжина і напрям відрізка. Поділ відрізка в заданому відношенні. Площа трикутника

Довжина відрізка на площині

(рис. 3.1), заданого координатами свого

початку і кінця дорівнює

. (3.1)

Якщо початок відрізка співпадає з

початком координат, то формула (3.1)

має вигляд

. (3.2)

Нехай і – кути, які утворює відрізок з додатними напрямами осей і , тоді напрями відрізка визначаються завданням косинусів їх кутів

; (3.3)

Координати точки , яка ділить відрізок в відношенні , знаходяться за формулами

; . (3.4)

Якщо точка ділить відрізок пополам, то і координати точки дорівнюють

; . (3.5)

Якщо число від’ємне, то точка знаходиться на продовженні відрізка і поділ називається зовнішнім.

Площа трикутника з вершинами , , обчислюється за формулою

. (3.6)

Оскільки площа трикутника – величина додатна, то права частина формули (3.6) береться за абсолютною величиною.

3.2. Пряма лінія на площині

Пряму лінію на площині відносно системи прямокутних декартових координат можна задати різними способами і в результаті отримати різні види рівняння прямої.

. Загальним рівнянням прямої на площині називається рівняння виду

. (3.7)

. Рівняння прямої з заданим кутовим коефіцієнтом

, (3.8)

д

Рис. 3.1

е кутовий коефіцієнт прямої,

кут нахилу прямої до додатного напря-

му осі , величина відрізка, який

відтинає пряма на осі (рис.3.2).

. Рівняння прямої в відрізках на осях

, (3.9)

де відрізки, які відтинає пряма на осях координат (рис. 3.2).

.

Рис. 3.1

Рівняння прямої, яка проходить через дві точки и

. (3.10)

. Нормальне рівняння прямої

, (3.11)

де довжина перпендикуляра, опущеного на пряму з початку координат, кут, який відраховується від додатного напряму осі проти

годинникової стрілки до перпендикуляра (рис. 3.2).

. Основні задачі для прямої лінії

1. Якщо прямі задані загальними рівняннями і , то кут між цими прямими знаходиться за формулою

. (3.12)

Якщо прямі задані рівняннями

и ,

(рис. 3.3) то формула (3.12) має вигляд

, (3.13)

де , , кут, який

відраховується від прямої до прямої

за годинниковою стрілкою.