2.2.1. Розв’язок типового прикладу завдання 2 ргр

Знайти внутрішні кути , і трикутника, заданого вершинами , , і переконатися, що їх сума дорівнює .

Розв’язок. Знайдемо координати векторів , , , і протилежні їм вектори , , , враховуючи, що координати останніх мають знаки, протилежні координатам основних векторів

.

, ;

, ;

, .

Обчислимо довжини сторін трикутника

;

;

.

Знайдемо косинус кута між векторами за формулою

.

.

.

.

Перевірка: .

Відповідь: ; ; .

2.3. Векторний добуток двох векторів

Трійка не компланарних векторів називається правою, якщо при обертанні буравчика в напрямі від вектора до вектора напрям поступального руху буравчика утворює гострий кут з напрямом вектора . Якщо ж кут тупий, то трійка називається лівою.

. Векторним добутком двох векторів називається вектор , який задовольняє наступним умовам:

1) довжина вектора дорівнює , де ; (2.11)

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів, тобто і ;

3) вектор , має такий напрям, що вектори , і утворюють праву трійку векторів. Векторний добуток позначають одним із символів:

.

. Якщо вектори задані проекціями на осі координат і , то векторний добуток визначається за формулою

. (2.12)

. Геометричний зміст векторного добутку.

М

одуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудова-ного на векторах і , віднесених до спільного початку, тобто

. (2.13)

. Фізичні додатки.

1. Момент сили , прикладеної до

точки відносно точки  О, дорівнює

векторному добутку сили на

вектор :

.

2. Швидкість точки твердого тіла, яке обертається з кутовою швидкістю навколо нерухомої осі , визначається формулою Ейлера

.

3. Якщо електрон, з зарядом рухається зі швидкістю в магнітно-му полі постійної напруженості , то на електрон діє сила _{Лоренца}

.

4. Площа , дорівнює половині площі паралелограма

. (2.14)

2.3.1. Розв’язок типового прикладу завдання 3 ргр

Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах і , якщо:

а) ; ; ; ; ;

б) ; .

Розв’язок. Площа паралелограма, побудованого на векторах і , згідно формули (2.26) дорівнює модулю їх векторного добутку

.

Знайдемо векторний добуток векторів і

а)

.

Тоді площа паралелограма

(кв. од.).

Відповідь: 7 кв. од.

б) Якщо вектори задані своїми проекціями на осі координат, то в цьому випадку їх векторний добуток обчислюється за формулою (2.25)

.

Тоді площа паралелограма

(кв. од.)

Відповідь: кв. од.

2.4. Мішаний добуток трьох векторів

. Мішаним добутком трьох векторів , і називається число, яке дорівнює добутку вектора скалярно на вектор :

, або . (2.15)

Якщо вектори задано своїми координатами, то мішаний добуток трьох векторів дорівнює визначнику третього порядку, який складається з відповідних координат векторів, що перемножуються

. (2.16)

. Властивості мішаного добутку

1. Якщо в мішаному добутку поміняти місцями довільні два множника, то мішаний добуток змінить знак на протилежний

.

2. При циклічній перестановці множників мішаний добуток не змінюється:

.

3. Вектори , , компланарні тоді і тільки тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулю.

. Геометричний зміст мішаного добутку

Модуль мішаного добутку

дорівнює об’єму паралелепіпеда,

побудованого на векторах , і

віднесених до спільного початку:

. (2.17)

. Додаток

Об’єм трикутної піраміди

(тетраедра), побудованої на векторах

,

Рис. 2.13

, дорівнює

. (2.18)