- •3. Аналітична геометрія на площині|площині| …………………….. 23
- •1. Лінійна алгебра
- •1.1. Визначники. Обчислення|підрахунок| визначників
- •1.2. Матриці і їх властивості
- •1.3. Розв’язок систем лінійних рівнянь
- •1.4. Розв’язок типового прикладу|зразків| завдання|задавання| 1 ргр
- •2. Векторна алгебра
- •2.1. Векторні і скалярні величини. Розкладання вектора за координатними осями
- •2.2. Скалярний добуток двох векторів
- •. Умова паралельності і перпендикулярності векторів
- •. Механічний зміст скалярного добутку
- •2.2.1. Розв’язок типового прикладу завдання 2 ргр
- •Знайдемо косинус кута між векторами за формулою
- •2.3. Векторний добуток двох векторів
- •2.3.1. Розв’язок типового прикладу завдання 3 ргр
- •2.4. Мішаний добуток трьох векторів
- •2.4.1. Розв’язок типового прикладу завдання 4 ргр
- •Тоді об’єм тетраедра
- •3.1. Довжина і напрям відрізка. Поділ відрізка в заданому відношенні. Площа трикутника
- •3.2. Пряма лінія на площині
- •. Рівняння прямої з заданим кутовим коефіцієнтом
- •. Рівняння прямої в відрізках на осях
- •Умова паралельності прямих
- •2. Точка перетину двох прямих, заданих загальними рівняннями
- •3. Рівняння пучка прямих.
- •3.2.1. Розв’язок типових прикладів завдання 5 ргр
- •15 Од. Довжини.
- •3.3. Криві другого порядку в прямокутній системі координат
- •3.3.1. Розв’язок типових прикладів завдань 6, 7 ргр
- •3.4. Криві другого порядку в полярній системі координат. Параметричні рівняння плоских кривих
- •Деякі типи кривих на площині, заданих
- •4. Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Плоскость
- •4. Аналітична геометрія в просторі
- •4.1. Площина . Основні рівняння площини
- •Загальне рівняння площини
- •3. Де відрізки, які відтинає площина на координатних осях
- •3. Умова паралельності площин
- •4.1.1. Розв’язок типового прикладу завдання 8 ргр
- •4.2. Пряма лінія в просторі. Взаємне розташування прямої і площини
- •4.2.1. Розв’язок типових прикладів завдань 9, 10 ргр
- •Завдання до розрахунково-графічної роботи Завдання 1
- •Завдання 2
- •Завдання 3
- •Завдання 4
- •Завдання 5
- •Завдання 6
- •Завдання 7
- •Завдання 8
- •Завдання 9
- •Завдання 10
- •ФормулИ з ЕлементарноЇ математикИ
- •7. Формули подвійного кута
- •8. Формули зниження степені
- •9. Відношення в довільному трикутнику
- •Додаток 4 Номери індивідуальних завдань Дві останні цифри номера залікової книжки
- •Дві останні цифри номера залікової книжки
|
Міністерство аграрної політики України
|
Луганський національний аграрний університет |
Лєві Л.І., Коваль А.В., Тащілін М.В.
Кафедра фізико- математичних дисциплін
ВИЩА МАТЕМАТИКА
ЛІНІЙНА, ВЕКТОРНА АЛГЕБРА І АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
Методичні вказівки до практичних занять, індивідуальної та самостійної роботи з варіантами завдань для|задавання| розрахунково-графічної роботи для підготовки бакалаврів напряму “Геодезія, картографія та землеустрій”
Луганськ-2010 |
УДК 681.513:62-50
Укладачі:
ЛЄВІ ЛЕОНІД ІСААКОВИЧ, доктор технічних наук
зав. кафедрою фізико-математичних дисциплін.
КОВАЛЬ АНАТОЛІЙ ВАСИЛЬОВИЧ, кандидат фізико-
математичних наук, доцент кафедри фізико-математичних
дисциплін.
ТАЩІЛІН МАКСИМ ВАСИЛЬОВИЧ, кандидат технічних
наук, доцент кафедри фізико-математичних дисциплін.
Вища математика. Лінійна, векторна алгебра і аналітична геометрія. Методичні вказівки до практичних занять, індивідуальної і самостійної роботи із завданнями для розрахунково-графічної роботи. Для підготовки бакалаврів напряму “Геодезія, картографія та землеустрій”. Лєві Л.І., Коваль А.В., Тащілін М.В. – Луганськ, Вид-во ЛНАУ, 2010. – 72 с.
Рецензенти:
Грібанов В.М., доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри
прикладної математики Східноукраїнського
національного університету ім. В. Даля.
Бурцев Г.Г., кандидат технічних наук, завідувач кафедри
опору матеріалів і теоретичної механіки
Луганського національного аграрного університету.
Видання розглянуте|розглядувати| і рекомендоване до друку|печатки|:
на засіданні кафедри фізико-математичних дисциплін (протокол № 2 від 5 жовтня 2010 року);
на засіданні методичної комісії будівельного факультету (протокол № 2 від 14 жовтня 2010 року).
ЗМІСТ
1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ………………………………………………… 4
1.1. Визначники. Обчислення|підрахунок| визначників ………………………….. 4
1.2. Матриці і їх властивості ………………………………………….. 7
1.3. Розв’язок систем лінійних рівнянь ……………………………… 9
1.4. Розв’язок типового прикладу|зразків| завдання|задавання| 1 РГР ………………….. 11
2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА …………………………………………….... 15
2.1. Векторні і скалярні величини. Розкладання вектора по
координатним осям ………………………………………………… 15
2.2. Скалярний добуток двох векторів ………………………………... 16
2.2.1. Розв’язок типового прикладу|зразків| завдання|задавання| 2 РГР ….…………….. 17
2.3. Векторний добуток двох векторів ………………………………... 18
2.3.1 Розв’язок типового прикладу|зразків| завдання|задавання| 3 РГР ………………… 20
2.4. Мішаний добуток|добуток| трьох векторів ………………………………… 21
2.4.1. Розв’язок типового прикладу|зразків| завдання|задавання| 4 РГР ………………… 22
3. Аналітична геометрія на площині|площині| …………………….. 23
3.1. Довжина і напрям|направлення| відрізку. Ділення|поділ| відрізку в заданому
відношенні|ставленні|. Площа|майдан| трикутника ………………………………….. 23
3.2. Пряма лінія на площині …………………………………………… 24
3.2.1. Розв’язок типового прикладу|зразків| завдання|задавання| 5 РГР ……………….. 26
3.3. Криві другого порядку|ладу| в прямокутній системі координат ........ 28
3.3.1. Розв’язок типових прикладів|зразків| завдань|задавання| 6, 7 РГР ……………… 31
3.4. Криві другого порядку|ладу| в полярній системі координат.
Параметричні рівняння плоских кривих ……………………….. 35
4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ В ПРОСТОРІ|простір-час| ……………………… 38
4.1. Площина ……………………………………………………………. 38
4.1.1. Розв’язок типового прикладу|зразків| завдання|задавання| 8 РГР ……………….. 40
4.2. Пряма лінія в просторі|простір-час|. Взаємне розташування|пересічення| прямої
і площини|площина| ………………………………………………………….. 42
4.2.1. Розв’язок типових прикладів|зразків| завдань|задавань| 9, 10 РГР …………… 44
5. ЗАВДАННЯ|задавання| ДО РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ ……. 46
Додаток 1. Формули по елементарній математиці ………………… 65
Додаток 2. Таблиця тригонометричних функцій sin x, cos x …….. 67
Додаток 3. Таблиця тригонометричних функцій tg x ……………. 68
Додаток 4. Номери індивідуальних завдань|задавань| ………………………. 69
Додаток 5. Зразок титульної сторінки ……………………………… 71
1. Лінійна алгебра
1.1. Визначники. Обчислення|підрахунок| визначників
. Визначником 2-го порядку називається вираз вигляду:
.
Визначником 3-го порядку називається вираз вигляду:
.
Визначником 3-го порядку називається вираз вигляду:
.
Загальне|спільне| позначення елементу визначника , де номер рядка, номер стовпця, на перетині|пересіченні| яких він знаходяться|перебувають|.
Діагональ, що сполучає лівий верхній кут визначника з правим нижнім кутом називається головною, а діагональ, що сполучає правий верхній кут з лівим нижнім кутом – побічною діагоналлю.
. Обчислення|підрахунок| визначників.
1. Визначник другого порядку обчислюється за формулою
(1.1)
Приклад 1.1. Обчислити визначник .
Розв’язок. .
2. Обчислення|підрахунок| визначників 3-го порядку|ладу| виконуються за правилом Саррюса, за правилом трикутників або його розкладанням за елементами рядка (або стовпця).
При обчисленні визначника 3-го порядку за правилом Саррюса до нього приписуються два перші стовпці справа. Добутки елементів, що лежать на діагоналях, паралельних головній, беруться із знаком «», а елементів, що лежать на діагоналях, паралельних побічній – із|із| знаком «–».
Алгебраїчна сума всіх шести добутків|добутків| дорівнює визначникові.
(1.2)
Визначник 3-го порядку можна обчислити за правилом трикутників.
Добутки|добутки| елементів, розташованих|схильних| на головній діагоналі і у вершинах рівнобічних трикутників з|із| основами паралельними їй, беруться із|із| знаком «+», а елементів, розташованих|схильних| на побічній діагоналі і у вершинах рівнобічних трикутників з|із| основами паралельними їй, – із|із| знаком «–».
Приклад 1.2. Обчислити визначник
а) по правилу Саррюса; б) за правилом трикутників.
Розв’язок. а) Обчислимо визначник за правилом Саррюса:
.
б) Обчислимо визначник за правилом трикутників:
.
3. Розклад визначників за елементами будь-якого рядка (або стовпця).
а) Мінором елемента визначника го порядку , називається визначник -го порядку, який утворюється із даного визначника в результаті викреслювання -го рядка та -го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент .
б) Алгебраїчним доповненням елементу визначника називається його мінор, взятий із знаком , тобто:
.
в) Будь-який визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (або стовпця) на алгебраїчні доповнення цих елементів.
Наприклад, розклад визначника 3-го порядку|ладу| за елементами першого рядка має вигляд:|вид|
(1.3)
.
Приклад 1.3. Обчислити визначник розкладанням за елементами
рядка: .
Розв’язок. Розкладемо визначник за елементами першого рядка:
.