4.2. Пряма лінія в просторі. Взаємне розташування прямої і площини

. Основні рівняння прямої лінії в просторі

1. Пряма лінія в просторі в загальному вигляді задається перетином двох площин:

(4.12)

2. Канонічне рівняння прямої

Положення прямої в просторі можна

визначити також даною точкою

, що лежить на прямій і

напрямним вектором (рис. 4.3).

Тоді отримаємо канонічне рівняння прямої

. (4.13)

Якщо знаменник (4.15) розділити на , то отримаємо:

, або , (4.14)

де , , кути, утворені прямою з|із| осями координат , ,

3. Параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку в напрямі вектора мають вигляд

(4.15)

де параметр.

4. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки и

. (4.16)

. Основні задачі на пряму лінію

1. Кут між двома прямими, які задані канонічними рівняннями

и

, (4.17)

Знак « + » відповідає вибору гострого кута, знак « – » – тупого кута.

. Якщо пряма задана канонічним рівнянням

, а площина , то:

1. Координати точки перетину прямої і площини знаходиться за формулами

(4.18)

де параметр . (4.19)

2. Кут між прямою і площиною (рис. 4.4)

. (4.20)

3. Рівняння пучка площин, які проходять через пряму їх перетину

. (4.21)

4. Умова паралельності прямої і площини

. (4.22)

5. Умова паралельності прямої і площини

. (4.23)

4.2.1. Розв’язок типових прикладів завдань 9, 10 ргр

1. Задано пряму і координати точок. 1. Написати канонічні рівняння: а) прямої, яка задана перетином двох площин, б) прямої, що проходить через задані точки. 2. Знайти гострий кут між цими прямими.

, .

Розв’язок. 1. а) Знайдемо яку-небудь|будь-яку| точку|гострю| на даній прямій. Для цього вважаємо в обох рівняннях і розв’яжемо|рішатимемо| систему рівнянь

Таким чином, точка належить даній прямій.

Напрямний вектор знайдемо за формулою

,

тобто він має координати , або, скоротивши на спільний множник , отримаємо .

Тоді запишемо канонічне рівняння прямої, яка проходить через точку в напрямі вектора

.

б) Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки і має вигляд (4.16). За умовою задачі , , тому шукане рівняння

, або .

2. Кут між двома прямими знайдемо за формулою (4.17)

.

В нашому випадку , , ; , , . Косинус гострого кута додатній, тому

.

; рад; .

Відповідь: 1. а) , б) . 2. .

2. Задані пряма в просторі і площина .

Знайти: 1) точку перетину прямої і площини; 2) гострий кут між прямою і площиною.

Розв’язок. 1) Точку перетину прямої і площини знайдемо за формулою (4.23). Для цього визначимо параметр за формулою (4.19).

В нашому випадку

.

Тепер знайдемо координати точки перетину прямої і площини

; ; .

2) Гострий кут між прямою і площиною визначимо за формулою (4.20)

.

Підставляючи числові значення, знаходимо:

.

рад; .

Відповідь: 1) . 2) .