2. Векторна алгебра

2.1. Векторні і скалярні величини. Розкладання вектора за координатними осями

. Основні визначення.

Величина називається скалярною, якщо вона визначається своїм числовим значенням, і векторною, якщо для її визначення задається ще й напрям.

Два вектори вважаються рівними, якщо вони мають однакову довжину, паралельні один одному і однаково напрямлені.

Два вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній прямій (або паралельних прямих), незалежно від того, чи напрямлені вони однаково, чи їх напрями протилежні.

Якщо вектори лежать в одній площині або в площинах, паралельних між собою, то вони називаються компланарними.

. Розклад вектора за базисом , , .

Візьмемо прямокутну декартову|

|систему координат в просторі і разом|простір-час|

з нею три одиничні|поодинокі| вектори , , ,

початок яких співпадає з початком

координат і які напрямлені відповідно

по осях , , (рис. 2.1).

Система трьох векторів , , ,

називається декартовим прямокутним базисом.

Будь-який|усякий| вектор в просторі|простір-час| можна подати у вигляді |уявляти|суми трьох векторів, один з яких розташований|схильний| вздовж осі , другий – осі і третій – осі :

, (2.1)

де одиничні|поодинокі| вектори, які напрямлені|спрямовані| вздовж|вздовж| координатних осей, проекції вектора на координатні осі.

Модуль вектора дорівнює

. (2.2)

. Дії над векторами.

Якщо і – координати початку і кінця вектора, то:

– координати вектора проекції

; (2.3)

– модуль вектора

; (2.4)

– його напрямні косинуси

; . (2.5)

2.2. Скалярний добуток двох векторів

. Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними:

. (2.6)

Кутом|рогом| між векторами і називається

кут , на який слід повернути|обернути| один з

векторів для того, щоб їх напрями|направлення| збігалися

(рис. 2.2.)

. Запис скалярного добутку через проекції векторів, що перемножуються.

Якщо два вектори і задані в координатній формі своїми проекціями на осі координат

. (2.7)

. Кут між векторами. З рівняння (2.6) з врахуванням (2.7) витікає

. (2.8)

. Умова паралельності і перпендикулярності векторів

Якщо , , тоді:

– умова паралельності векторів

, (2.9)

– умова перпендикулярності векторів

. (2.10)

. Механічний зміст скалярного добутку

З фізики відомо, що робота , сили при переміщенні матеріальної точки з початку в кінець вектора , який утворює з вектором кут (рис. 2.3) дорівнює

або, згідно (2.6) .

Тому робота дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення . В цьому суть механічного змісту скалярного добутку.