- •Методичні вказівки та завдання
- •Частина 1
- •Тема1 Ймовірність випадкових подій
- •Тема2 Послідовності випробувань
- •1 Лабораторна робота №1 Ймовірність випадкових подій.....................4
- •1 Лабораторна робота № 1 ймовірність випадкових подій
- •1.1 Алгебра подій
- •1.2 Означення подій
- •1.3 Означення та властивості ймовірності та частості
- •1.4 Основні теореми теорії ймовірностей
- •1.5 Формули повної ймовірності та Байєса
- •1.6 Приклади розв’язання задач
- •1.7 Варіанти самостійного завдання №1
- •1.8 Варіанти самостійного завдання №2
- •1.9 Варіанти самостійного завдання №3
- •1.10 Варіанти самостійного завдання №4
- •1.11 Варіанти самостійного завдання №5
- •1.12 Варіанти самостійного завдання №6
- •1.13 Варіанти самостійного завдання №7
- •1.14 Варіанти самостійного завдання №8
- •2 Лабораторна робота № 2 послідовності випробувань
- •2.1 Схема та формула Бернуллі
- •2.2 Локальна та інтегральна теореми Лапласа
- •2.3 Відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях
- •2.4 Найімовірніше число появ події в незалежних випробуваннях
- •2.5 Теорема Пуассона
- •2.6 Приклади розв’язання задач
- •2.7 Варіанти самостійного завдання №1
- •2.8 Варіанти самостійного завдання №2
- •2.9 Варіанти самостійного завдання №3
- •2.10 Варіанти самостійного завдання №4
- •3 Література
- •Додаток а а.1 Таблиця значень щільності стандартного нормального розподілу
- •А.2 Таблиця значень функції Лапласа
1.7 Варіанти самостійного завдання №1
1.7.1 Зроблено два постріли з гармати в ціль. Подія – (влучення при -му пострілі); (); подія – (промах при -му пострілі); (). Виразити через , , , ,:
а) – одне влучення в мішень при двох пострілах;
б) – два влучення при двох пострілах;
в) – хоча б одне влучення в мішень при 2 пострілах;
г) Е – жодного влучення при 2 пострілах.
1.7.2 Нехай – три події, які спостерігаються в експерименті. Виразити в алгебрі подій наступні події:
− – відбудеться одне з ;
− – з відбудеться хоча б одне;
− – з не відбудеться жодного;
− – з відбудеться рівно 2.
1.7.3 Зроблено 3 постріли з гармати в ціль. Подія – (влучення при -му пострілі). Записати в алгебрі подій наступні події:
а) А – рівно одне влучення; б) – хоча б одне влучення;
в) С – хоча б один промах; г) – не менш двох влучень.
1.7.4 Нехай , , – події, які полягають в тому, що в мішень влучили відповідно перший та третій стрілки при одному пострілі. Події , , – промахи цих стрілків. Знайти вираз для подій:
а) А – жодного влучення; б) В – тільки одне влучення;
в) С – три влучення; г) – хоча б одне влучення при трьох пострілах.
1.7.5 Передаються повідомлення по каналу зв’язку. Подія – повідомлення передане без помилок, . Записати в алгебрі подій наступні події:
а) А – всі чотири повідомлення передані без помилок;
б) – три повідомлення передані без помилок, одне з помилками;
в) С – хоча б два повідомлення передані без помилок;
г) – всі повідомлення передані з помилками.
1.7.6 Маємо події: А – деталь першого сорту, В – деталь другого сорту, С – взята навмання деталь виявилася деталлю третього сорту. В чому полягають наступні події:
а) ; б) ; в) г) .
1.7.7 Підкидаються дві гральні кістки. Нехай А – сума очок непарна, В – подія, яка полягає в тому, що хоча б на одній з кісток випала одиниця. Описати події:
а) ; б) ; в) ; г) .
1.7.8 Дослід полягає в підкиданні двох монет. Розглядаються наступні події: А – герб на першій монеті, В – цифра на першій монеті, С – герб на другій монеті, D – цифра на другій монеті.
Визначити, яким подіям з цього списку рівносильні наступні події:
а) ; б) ; в) ; г) .
1.7.9 По каналу зв’язку передаються послідовно три повідомлення, кожне з них може бути передано правильно або неправильно. Розглядаються наступні події: – -e повідомлення передано правильно, – -e повідомлення передано неправильно; де . Виразити через і наступні події:
а) А – хоча б одне повідомлення передано правильно;
б) В – не менш двох повідомлень передано правильно;
в) С – не більш одного повідомлення передано правильно;
г) – перше повідомлення передано правильно, а інші – передані неправильно.
1.7.10 Дослід полягає в підкиданні двох монет. Розглядаються наступні події: А – хоча б один герб, В – хоча б одна цифра, С – один герб і одна цифра, – два герба.
Визначити, яким подіям з цього списку рівносильні наступні події:
а) ; б) ; в) ; г) .
1.7.11 Проводиться спостереження за групою, яка складається з чотирьох однорідних об’єктів. Кожен з них за час спостереження може бути виявлений або не виявлений. Розглядаються наступні події: А – виявлений рівно один з 4 об’єктів, B – виявлений хоча б один об’єкт, С – виявлено не менш двох об’єктів.
В чому полягають події:
а) ; б) ; в) ; г) .
1.7.12 Навмання підкидаються дві гральні кістки. Елементарні події – це події, які полягають у тому, що на одній з кісток випало очок, а на іншій (). Виразити через елементарні події наступні події:
а) А – сума очок, які випали парна;
б) В – добуток очок непарний;
в) С – на одній з кісток число очок парне, а на іншій непарне;
г) – на жодній з кісток не випало шість очок.
1.7.13 Відбувається спостереження за групою, яка складається з чотирьох однорідних об’єктів. Кожен з них за час спостереження може бути виявлений або не виявлений. Розглядаються події: А – виявлено не менш двох об’єктів, В – виявлено рівно два об’єкта, С – виявлено рівно три об’єкта, – виявлено всі чотири об’єкта.
В чому полягають наступні події:
а) ; б) ; в) ; г) .
1.7.14 Назвати протилежні події для наступних подій:
а) передаються два повідомлення по каналу зв’язку, подія А – обидва повідомлення передані правильно;
б) передаються п’ять повідомлень, подія С – не менш трьох повідомлень передано правильно;
в) відбувається пострілів по мішені, подія – хоча б одне влучення.
1.7.15 В полі спостереження мікроскопа знаходяться чотири клітини. За час спостереження кожна з них може розділиться і не розділиться. Розглядаються події: А – розділилась одна клітина, В – розділилась хоча б одна клітина, С – розділилось не менш двох клітин, – розділилися всі чотири клітини.
В чому полягають наступні події:
а) ; б) ; в) ; г) .
1.7.16 Дослід полягає в підкиданні двох монет – мідної та срібної. Розглядаються наступні події: А – герб випав на мідній монеті, В – цифра випала на мідній монеті, С – випав хоча б один герб, D – випав один герб і одна цифра, E – герб випав на срібній монеті.
В чому полягають наступні події:
а) ; б) ; в) ; г) .
1.7.17 Нехай – три довільних події, які полягають у тому, що з відбулися:
а) тільки А ;
б) тільки і , але не відбулася;
в) всі три події;
г) більш двох подій.
1.7.18 Прилад складається з двох блоків. Перший блок складається з чотирьох однакових деталей і працює при справності хоча б двох з них. Другий блок складається з трьох однакових деталей і працює при справності хоча б однієї з них. Весь прилад працює, якщо працюють обидва блоки. Будемо вважати, що – справна -та деталь першого блока (), – справна -та деталь другого блока () і протилежні їм події. Виразити наступні події:
а) А – перший блок працює; б) В – другий блок працює;
в) С – прилад працює; г) D – прилад не працює.
1.7.19 Враження бойового літака може відбутися або в результаті враження обох двигунів (події і ) або в результаті влучення снаряду в кабіну пілота (подія К). Подія А – враження літака. Записати А в алгебрі подій через , і К.
1.7.20 Прилад складається з двох блоків першого типу і трьох блоків другого типу. Подія – справний -й блок першого типу (), подія – справний -й блок другого типу (). Прилад справний, якщо справний хоча б один блок першого типу і не менш двох блоків другого типу.
Виразити С – справність приладу, через і .