2 Лабораторна робота № 2 послідовності випробувань

2.1 Схема та формула Бернуллі

Якщо проводяться випробування, в яких ймовірність появи події в кожному випробуванні не залежить від появи або не появи цієї події в інших випробуваннях, то такі випробування називають незалежними відносно події .

Формула Бернуллі. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , подія з’явиться рівно разів, дорівнює

, (2.1)

або

, (2.2)

де .

Ймовірність того, що в випробуваннях подія з’явиться: а) менш ніж разів, б) більш ніж разів, в) не менш ніж разів, г) не більш ніж разів знаходять відповідно за формулами:

; (2.3)

; (2.4)

; (2.5)

. (2.6)

2.2 Локальна та інтегральна теореми Лапласа

Локальна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , подія з’явиться рівно разів, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше )

, (2.7)

де , .

Таблиця функції для додатних значень наведена в додатку 1, для від’ємних значень користуються цією ж таблицею (функція парна, тому ).

Інтегральна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , подія з’явиться не менш разів і не більш разів, наближено дорівнює

. (2.8)

- функція Лапласа,

;

Таблиця функцій Лапласа для додатних значень наведена в додатку 2, для значень покладають . Для від’ємних значень використовують цю ж таблицю, враховуючи, що функція Лапласа непарна ().

2.3 Відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях

Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від ймовірності появи події не буде перевищувати додатного числа , наближено дорівнює подвоєній функції Лапласа при :

. (2.9)

2.4 Найімовірніше число появ події в незалежних випробуваннях

Число (появи події в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює ) називають найімовірнішим, якщо ймовірність того, що подія з’явиться в цих випробуваннях разів, перевищує (або принаймні не менш) ймовірності інших можливих появ або не появ події в незалежних випробуваннях.

Найімовірніше число визначають з подвійної нерівності

, (2.10)

причому:

а) якщо число - дробове, то існує одне найймовірніше число ;

б) якщо число - ціле, то існують два найймовірніших числа і ;

в) якщо число – ціле, то найймовірніше число .

2.5 Теорема Пуассона

Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює (– достатньо мале число), подія з’явиться разів, наближено дорівнює

, (2.11)

де (середнє число появ події в випробуваннях).

Формулу (2.11) називають формулою Пуассона. Її застосовують у випадках, коли , а .

Таблиця значень функції Пуассона знаходиться у додатку 3.