3.2. Частотные характеристики
Частотные методы исследования САР (САУ) основаны на рассмотрении установившейся реакции системы на гармоническое входное воздействие. Выбор таких воздействий обусловлен следующими причинами:
- реально встречающиеся воздействия, как правило, могут быть представлены в виде суммы гармоник различных частот на основе разложения Фурье;
- в установившихся режимах гармонические сигналы передаются линейными системами без искажения;
- обычно не возникает затруднений в экспериментальном исследовании поведения таких систем при гармонических воздействиях.
Пусть на вход линейного объекта (звена) поступает гармоническое воздействие
,
(3.12)
представленное на рис. 3.5,
Рис. 3.5. Входное и выходное гармонические воздействия
где
А
– амплитуда гармонического воздействия;
- фаза сигнала;
- круговая частота; Т
– период сигнала, причем
.
В установившемся режиме, если система устойчива, по истечении достаточно большого промежутка времени в ней установится периодическое движение с той же частотой, но с другими амплитудой В и фазой , т.е. сигнал
,
(3.13)
также представленный на рис.3.5.
Изменения амплитуды и фазы выходного сигнала обусловлены как свойствами рассматриваемого объекта (видом дифференциального уравнения и значениями параметров), так и частотой. Частотные характеристики системы (элементов) описывают передаточные свойства системы и ее звеньев в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием.
Отношение амплитуд В/А и разность фаз =- являются функциями частоты, графики которых называются амплитудно-частотными
(3.14)
и фазовыми частотными
(3.15)
характеристиками. Они показывают, что в линейной системе амплитуда и фаза гармонического сигнала в установившемся режиме изменяются при каждом значении частоты .
Частотной амплитудно-фазовой функцией (частотной передаточной функцией) W(j) называется функция изменения амплитуды и фазы выходной переменной системы в установившемся режиме при приложении на вход гармонического воздействия. График частотной передаточной функции W(j) называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).
Частотная передаточная функция W(j) получается на основе преобразования Фурье, являющимся частным случаем преобразования Лапласа при р=j:
.
(3.16)
На практике частотную передаточную функцию W(j) получают путем замены в передаточной функции
(3.17)
р j . В итоге W(j) имеет вид:
.
(3.18)
Частотная передаточная функция является комплексно-частотной функцией, которая на комплексной плоскости представляется, так как показано на рис. 3.6.
Тогда можно записать, что
.
(3.19)
Из рис. 3.6 видно, что АФЧХ представляет собой годограф, определяющий геометрическое место точек для вектора с модулем А().
Амплитудно-частотной характеристикой называется график функции А(), определяемой выражением:
,
(3.20)
Рис. 3.6. Амплитудно-фазовая частотная характеристика САР
которая характеризует закон изменения соотношения амплитуд выходного и входного сигналов в зависимости от частоты. Примерный график амплитудно-частотной характеристикой для статической системы приведен на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Амплитудная частотная характеристика статической САР
Фазовой частотной характеристикой () называется график функции
,
(3.21)
которая характеризует фазу выходного сигнала в зависимости от частоты задающего воздействия, примерный вид которой для статической системы представлен на рис. 3.8.
Вещественной частотной характеристикой P() называется график функции
,
(3.22)
Рис. 3.8. Фазовая частотная характеристика статической САР
представленный на рис. 3.9.
Рис. 3.9.Вещественная частотная характеристика статической САР
Особенность
функции Р()
является ее четность, т.е.
.
Мнимой частотной характеристикой Q() (МЧХ) называется график функции Q(), определяемой по выражению:
,
(3.23)
примерный
график которой приведен на рис. 3.10.
Функция Q()
является нечетной функцией, т.е.
Основным достоинством частотных характеристик является то, что они позволяют косвенно (без решения дифференциальных уравнений) судить о поведении системы, т.е. оценивать устойчивость системы, определять оценки качества, а также рассчитывать средства коррекции системы для получения заданных динамических показателей
Рис. 3.10.Мнимая частотная характеристика статической САР
.3.3. Логарифмические частотные характеристики
Из математики известно, что кривизна значительного количества кривых уменьшается при построении их в логарифмическом масштабе. Это свойство и используется при построении амплитудных и фазовых частотных характеристик в логарифмическом масштабе.
Логарифмической
амплитудно-частотной характеристикой
(ЛАЧХ)
называется кривая, соответствующая 20
десятичным логарифмам модуля частотной
передаточной функции системы
,
построенная в десятичном логарифмическом
масштабе частот и обозначается она, как
.
(3.24)
Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называется фазовая частотная характеристика, построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот.
Для
оценки отношения двух величин используется
логарифмическая единица мощности
сигнала децибел.
Связь между числом децибел и соответствующим
ему числом x
определяется выражением:
При построении логарифмических частотных характеристик по оси абсцисс откладываются значения частот в декадах. Декада – это интервал частот, заключенный между произвольным значением частоты i и его десятикратным увеличением 10i. Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1. Логарифмическая ось частот представлена на рис. 3.11.
Основным достоинством логарифмических частотных характеристик является простота синтеза систем управления на их основе, т.к. в логарифмической системе координат легко находятся характеристики различных соединений элементов, т.к. умножению и делению обычных характеристик
Рис. 3.11. Логарифмическая ось частот
соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.
Вывод: Замечательным свойством частотных характеристик является то, что они могут быть построены экспериментальным путем, если дифференциальные уравнения системы неизвестны.