- •Тема1: Модели и моделирование
- •Пример построения математической модели:
- •Погрешности численных методов
- •Свойства численного решения
- •Тема2 Аппроксимация функций
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Сплайны
- •Сплайны третьей степени
- •Метод наименьших квадратов
- •Тема 3: Решение нелинейных уравнений
- •Метод половинного деления
- •Метод простых итераций
- •Метод хорд
- •Метод Ньютона (касательных)
- •Тема 4: Решение систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Метод прогонки
- •Метод уточнения решения
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •Тема5: Решение систем нелинейных уравнений
- •Простой итеррации
- •Метод Ньютона
- •Метод возмущения параметров
- •Тема 6: Численное интегрирование
- •Метод определенного интеграла
- •Метод трапеции
- •Метод Симпсона
- •Метод Гаусса
- •Метод Монте-Карло
- •Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов
- •Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •Метод Эйлера
- •Модифицированный метод Эйлера
- •Метод Рунге – Кутта
- •Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
- •Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков
- •Метод стрельбы
- •Метод конечных разностей (мкр) (метод сеток).
- •Решение дифференциальных уравнений с частными производными
- •Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
- •Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности
- •Задачи оптимизации.
- •Метод половинного деления
- •Метод золотого сечения
- •Метод покоординатного подъёма (спуска)
- •Метод градиентного подъёма (спуска)
- •Метод наискорейшего подъёма
- •Задания для самостоятельной проработки
Метод Гаусса
Метод Гаусса основан на привидении матрицы системы к треугольному виду, а в обратной последовательности к решению.
Сначала на первом шаге с помощью первого уравнения исключается х первое из всех последовательных уравнений системы, в результате получается новая система, имеющая то же решение, но в первом столбце матрицы будет не нулевой только первый, а все остальные обращаются в нуль. На втором шаге исключается х2 из всех уравнений. Этот процесс продолжается до тех пор, пока в левой части последовательного n-го уравнения остается лишь один член с неизвестным хn.
Рассмотрим процесс исключения подробнее. На к-ом шаге используется хk. Запишем k-ое уравнение
Исключим с помощью этого уравнения xk из уравнения с номером i>k
Из i-го уравнения вычитаем k-ое умножимое на aik/akk после такого вычисления первое слагаемое сокращается. Запишем значение аргумента перед х.
при этом изменится свободный член:
По завершению прямого хода получается система с треугольной матрицей. Далее производится обратный ход метода Гаусса. Он состоит в последовательном вычислении малых неизвестных начиная с хn. Сначала находится
Далее используя это значение, находится хn-1 и док далее. На k-ом шаге обратного хода неизвестные находятся с помощью выражения: . В процессе исключения неизвестных приходится делить. Чтобы исключить эту ситуацию необходимо на каждом шаге прямого хода метода Гаусса менять расположение, чтобы akk≠0, а лучше, чтобы он имел максимально возможное значение. Переустановка уравнений должна быть предусмотрена в одном из уравнений и метод Гаусса, в котором производится перестановка уравнений таким образом, чтобы диагональный элемент имел значение, называемый элементом Гаусса с главным значением. В методе Гаусса объем вычислений пропорционален n3. Существуют практически значимые случаи, когда объем вычислений систем линейных уравнений можно резко сократить.
Метод №15
Метод прогонки
Метод прогонки является модификацией метода Гаусса для частного случая систем уравнений с трех диагональной матрицей. Такие системы возникают при численном решении уравнений математической физики. Коэффициент сплайна третьей степени находится путем решения систем с трех диагональной матрицей. В методе прогонки объем вычислений растет пропорционально n. Запишем систему уравнений, которая решается методом прогонки:
Общий вид уравнения:
Решение системы с трех диагональной матрицей, как и в методе Гаусса, состоит из двух этапов: прямой прогонки и обратной прогонки.
Рассмотрим первый этап (прямой ход):
Для этого неизвестное xi выражаем через xi+1 таким образом xi , где Ai и Bi неизвестные пока коэффициенты (прогоночные). На первом этапе как раз и находятся Ai и Bi. Сравним xi = Aixi+1 + Bi , i=1, x1 = A1x2 + B1
Запишем i-ое уравнение системы, выразим в нем xi-1 с помощью
Сравнивая эти соотношения, получаем реккурентные соотношения для нахождения прогоночных коэффициентов.
После того как найдены все прогоночные коэффициенты, в результате прямого хода метода находим хn, для этого сравниваем последнее уравнение системы anxn-1 + bnxn = dn с последним прогоночным соотношением xn-1 = An-1xn + Bn-1 получается система: .
Метод №16