- •Тема1: Модели и моделирование
- •Пример построения математической модели:
- •Погрешности численных методов
- •Свойства численного решения
- •Тема2 Аппроксимация функций
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Сплайны
- •Сплайны третьей степени
- •Метод наименьших квадратов
- •Тема 3: Решение нелинейных уравнений
- •Метод половинного деления
- •Метод простых итераций
- •Метод хорд
- •Метод Ньютона (касательных)
- •Тема 4: Решение систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Метод прогонки
- •Метод уточнения решения
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •Тема5: Решение систем нелинейных уравнений
- •Простой итеррации
- •Метод Ньютона
- •Метод возмущения параметров
- •Тема 6: Численное интегрирование
- •Метод определенного интеграла
- •Метод трапеции
- •Метод Симпсона
- •Метод Гаусса
- •Метод Монте-Карло
- •Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов
- •Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •Метод Эйлера
- •Модифицированный метод Эйлера
- •Метод Рунге – Кутта
- •Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
- •Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков
- •Метод стрельбы
- •Метод конечных разностей (мкр) (метод сеток).
- •Решение дифференциальных уравнений с частными производными
- •Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
- •Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности
- •Задачи оптимизации.
- •Метод половинного деления
- •Метод золотого сечения
- •Метод покоординатного подъёма (спуска)
- •Метод градиентного подъёма (спуска)
- •Метод наискорейшего подъёма
- •Задания для самостоятельной проработки
Метод Эйлера
Простейшим методом решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка является метод Эйлера.
Требуется найти . Как зависит от .
Будем находить решение в точках отстоящих друг от друга на расстоянии h (шаг задачи). Допустим решение в точке известно, и требуется найти значение неизвестной в точке . Разложим решение в окрестности точки в ряд Тейлора:
В этом ряде ограничимся первыми двумя слагаемыми
В результате получаем простейшую формулу
, которая реализует метод Эйлера .
, ,
точность
погрешность на одном шаге.
Таким образом, погрешность метода Эйлера равна .
Метод 29
Модифицированный метод Эйлера
Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение,
которое используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала . Значение производной полагают равным .
Мы нашли, что в начале интервала значение производной равно
, а в конце
Для нахождения на интервале удобно использовать среднее значение.
Такое представление производной тождественно использованию в ряде Тейлора членов пропорциональных .
Метод 30
Метод Рунге – Кутта
Это метод, который позволяет учесть в ряде Тейлора члены, содержащие старшие производные.
Для этого при вычислении старших производных используется результаты расчетов в точках внутри интервала. Метод Рунге – Кутта объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Отличаются эти методы порядком точности, т.е. числом слагаемых в ряде Тейлора.
Наиболее распространенным является метод, при котором удерживаются члены пропорциональные (метод 4-го порядка точности) когда говорят метод Рунге-Кутта, то имеют в виду метод четвёртого порядка.
Расчеты в этом методе производятся по следующим формулам
Метод 31
Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
Метод Рунге – Кутта может применяться для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Например: при решении системы
найдем
В этом случае расчеты производятся по следующим формулам:
Метод 32
Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков
Метод Рунге – Кутта можно использовать для решения дифференциальных уравнений высокого порядка (второго или более высокого). Для этого дифференциальное уравнение сводится к системе уравнений первого порядка.
Например: дифференциальное уравнение второго порядка:
Введём переменную , в результате решаемая задача приводится к следующей задаче:
получили систему двух уравнений первого порядка.
Метод 33
Метод стрельбы
Методы решения задачи Коши могут быть использованы при решении краевых задач. В качестве примера рассмотрим один из методов решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка, который называется методом стрельбы.
Решается дифференциальное уравнение второго порядка:
Заменим эту краевую задачу задачей Коши
Задача сводится к тому, чтобы найти такой угол , чтобы в точке решение равнялось .
Эта задача зависит от угла , как от параметра:
И нужно чтобы
Решение этого уравнения есть . Найдя, мы тем самым решим задачу как методом Коши.
Метод 34