- •Тема1: Модели и моделирование
- •Пример построения математической модели:
- •Погрешности численных методов
- •Свойства численного решения
- •Тема2 Аппроксимация функций
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Сплайны
- •Сплайны третьей степени
- •Метод наименьших квадратов
- •Тема 3: Решение нелинейных уравнений
- •Метод половинного деления
- •Метод простых итераций
- •Метод хорд
- •Метод Ньютона (касательных)
- •Тема 4: Решение систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Метод прогонки
- •Метод уточнения решения
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •Тема5: Решение систем нелинейных уравнений
- •Простой итеррации
- •Метод Ньютона
- •Метод возмущения параметров
- •Тема 6: Численное интегрирование
- •Метод определенного интеграла
- •Метод трапеции
- •Метод Симпсона
- •Метод Гаусса
- •Метод Монте-Карло
- •Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов
- •Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •Метод Эйлера
- •Модифицированный метод Эйлера
- •Метод Рунге – Кутта
- •Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
- •Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков
- •Метод стрельбы
- •Метод конечных разностей (мкр) (метод сеток).
- •Решение дифференциальных уравнений с частными производными
- •Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
- •Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности
- •Задачи оптимизации.
- •Метод половинного деления
- •Метод золотого сечения
- •Метод покоординатного подъёма (спуска)
- •Метод градиентного подъёма (спуска)
- •Метод наискорейшего подъёма
- •Задания для самостоятельной проработки
Метод Симпсона
В этом методе подъинтегральная функция аппроксимируется квадратичной зависимостью вида:
φi(xi)= aix2 + bix + c.
Для применения метода Симпсона отрезок интегрирования [a,b] разбиваем на четное число 2n частных отрезков с одинаковым шагом
В качестве аппроксимирующей функции берем полином Лагранжа, проходящий через три точки: (xi-1,yi-1), (xi, yi), (xi+1, yi+1), проходит ветвь параболы. Можно показать, что интеграл равен:
S=
В результате симулирования для интеграла получается приближенное выражение:
Погрешность метода Симпсона пропорциональна 0()-и имеет порядок .
Метод 24
Метод Гаусса
В предыдущих методах при численном интегрировании подинтегральную функцию вычисляют в равноотстоящих друг от друга узлах. В методе Гаусса для повышения точности численного интегрирования значения подинтегральной функции вычисляют в специально подобранных узлах.
Рассмотрим сначала стандартный отрезок и зададим число m= числу узлов, в которых вычисляется подинтегральная функция. Координаты этих узлов обозначим
и получим для определённого интеграла приближенное выражение
(1.1)
Узлы подбирают таким образом, чтобы обеспечить максимальную точность выражения (1.1).
Она будет максимальной в том случае, если узлы будут соответствовать корням полиномов Лагранжа.
Метод Гаусса представляет собой группу методов различающихся числом узлов. Значения параметров , для m=2;3 запишем в таблицу.
m |
j |
№метода |
||
2 |
1 |
1 |
24 |
|
2 |
1 |
|||
3 |
1 |
0,7745967 |
25 |
|
2 |
0 |
|||
3 |
0,7745967 |
С помощью формулы Гаусса (1.1) с m-узлами на стандартном отрезке можно получить формулу для вычисления интеграла на произвольном отрезке .
Для этого разбиваем отрезок на n равных частичных отрезков. На каждом отрезке
Задаём m узлов с помощью формулы
i – это номер частичного отрезка;
j – это номер узла в каждом частичном отрезке.
Для
Метод 24 даёт точные значения интеграла для полиномов степени , при m=2 метод Симпсона и метод Гаусса имеют приблизительно одинаковую точность. Однако метод Симпсона более удобен, так как для него узлы расположены равномерно, поэтому метод Гаусса целесообразно использовать при m>2.
Метод 26
Метод Монте-Карло
Во многих задачах исходные данные носят случайный характер. Для решения таких задач применяется статистико-вероятностный подход. На основе такого подхода разработан метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло. В методе Монте-Карло для случайной величины X с определённым законом распределения находится математическое ожидание, причем в качестве приблизительного значения математического ожидания можно использовать среднее значение из серии испытаний случайной величины X.
Это соотношение можно использовать для приближенного вычисления интеграла. Пусть Т – это случайная величина равномерно распределённая на отрезке . Равномерность распределения означает, что плотность распределения этой случайной величины во всех точках отрезка имеет одинаковое значение равное единице. То есть плотность распределения для этой случайной величины равна
В компьютерах встроены генераторы случайных чисел, имеющие нормальное распределение. Для вычисления по определению математического ожидания используется следующая формула
где, - это случайные числа равномерно распределённые на .
Тогда
При вычислении интеграла на путем замены интеграл приводится к отрезку если отрезок разбить на n частей, и каждый отрезок преобразовать в единичный, то для интеграла по
где - это случайное число на .
Метод 27