- •Тема1: Модели и моделирование
- •Пример построения математической модели:
- •Погрешности численных методов
- •Свойства численного решения
- •Тема2 Аппроксимация функций
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Сплайны
- •Сплайны третьей степени
- •Метод наименьших квадратов
- •Тема 3: Решение нелинейных уравнений
- •Метод половинного деления
- •Метод простых итераций
- •Метод хорд
- •Метод Ньютона (касательных)
- •Тема 4: Решение систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Метод прогонки
- •Метод уточнения решения
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •Тема5: Решение систем нелинейных уравнений
- •Простой итеррации
- •Метод Ньютона
- •Метод возмущения параметров
- •Тема 6: Численное интегрирование
- •Метод определенного интеграла
- •Метод трапеции
- •Метод Симпсона
- •Метод Гаусса
- •Метод Монте-Карло
- •Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов
- •Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •Метод Эйлера
- •Модифицированный метод Эйлера
- •Метод Рунге – Кутта
- •Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
- •Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков
- •Метод стрельбы
- •Метод конечных разностей (мкр) (метод сеток).
- •Решение дифференциальных уравнений с частными производными
- •Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
- •Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности
- •Задачи оптимизации.
- •Метод половинного деления
- •Метод золотого сечения
- •Метод покоординатного подъёма (спуска)
- •Метод градиентного подъёма (спуска)
- •Метод наискорейшего подъёма
- •Задания для самостоятельной проработки
Свойства численного решения
Ошибки исходных данных приводят к ошибке результата. Можно ожидать, что небольшие ошибки в исходных данных приводят к возникновению небольшой ошибке результата. Если результат вычисления непрерывно зависит от исходной величины, т.е. небольшим погрешностям результата, то задача называется устойчивой.
Тема2 Аппроксимация функций
Пусть у=f(x) относительно этой функции известно, что n-точка координат, xi(i=0-n) функция примет значение yi a<xi<b, при чем a=x1<x2. Значение yi могут быть результатами эксперимента или результатами расчета. Нашей задачей является приближенное нахождение искомой функции f(x). Приближенная замена искомой функции f(x) некоторой другой известной функцией называется аппроксимацией.
Для практики важен случай аппроксимации неизвестной функции многочленов φ(х)=а0+а1х+а2х2+а3х3+…+аmxm в этом случае аппроксимация сводится к нахождению коэффициента полинома. Коэффициент полинома подбирается таким образом, чтобы достичь наибольшей близости полинома φ(х) неизвестной функции f(x). Понятие близости может различаться в различных методах аппроксимации.
Метод №1
Интерполяционная формула Лагранжа
Интерполяционная формула Лагранжа есть формула полинома степени n проходящей через все узлы интерполяции.
у
n+1-точка
а в х
Через n+1 точки можно провести единый полином степени n. Построим такой полином. Введем полином
Легко убедиться, что во всех точках хj кроме точки хj=xi
Pi(xj)=0,если j не равно i, Pi(xj)=1, если j=i, следовательно полином проходящий через все точки можно представить в виде Ln(x)=∑YiPi(x).
Так как каждый из полиномов есть полином степени n, то результат полинома Лагранжа есть полином в степени n, другого полинома отличного от полинома Лагранжа проходящего через все узлы {xi,yi} быть не может.
С помощью полинома Лагранжа можно вычислить приблизительно аппроксимируемую функцию f(x) для любого x Є [a,b] – интерполяция. Нахождение аппроксимируемой функции для значения х за пределами отрезка [a,b] – экстраполяция. Экстраполяция дает значительно большую погрешность, чем интерполяция. Вычисление полинома Лагранжа обычно не представляет трудности, однако пользоваться им следует с достаточной осторожностью, дело в том, что полином Лагранжа, особенно при больших значениях n, может испытывать резкие колебания, особенно в близи концов отрезка [a,b] и поэтому при некоторых значениях аргумента полином Лагранжа распределяется равномерно на отрезке [a,b], при равностоящих узлах наибольшая точность наблюдается в середине отрезка [a,b], а наименьшее в близи концов отрезка. Можно построить интерполяционный полином, для которого погрешность равномерно распределена, для этого узлы хi должны являться корнями полинома Чебышева: function Lagrange (x,y: array of double; n: integer; xt:double): double.
Метод №2
Сплайны
При большом числе узлов интерполяции xi yi использование полинома Лагранжа может оказаться нежелательным, в этом случае аппроксимацию можно производить с помощью сплайнов. Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывно на всем заданном отрезке [a,b], а на каждом частичном отрезке в отдельности называется полиномом некоторой степени. Максимально по всем частичным отрезкам степень полинома называется степенью сплайна. Простейшим сплайном первой степени является кусочно-линейная функция.
у
a b х
представим уравнение сплайна y = ai+bix, найдем коэффициенты сплайна ai bi. Используем условие непрерывности:
yi = ai+bix,
yi+1 = ai+bi+1x
отсюда найдем, что
Function Spline1 (x,y: array of double; n: integer; xt: double): double.
Метод №3